M´ ethodes alg´ ebriques

d’informations a priori et elles permettent de faire un traitement non invariant des pro-jections. De ce fait, elles r´esolvent naturellement les probl`emes des redondances diff´erentes et de donn´ees manquantes.

Nous rassemblons dans ce document sous l’appellation “ m´ethodes it´eratives ” les approches alg´ebriques et les approches statistiques. Historiquement les approches alg´ebriques ont ´et´e les premi`eres `a ˆetre utilis´ees par Hounsfield dans le cadre de la re-construction tomographique [9]. Ces approches cherchent `a r´esoudre num´eriquement un syst`eme lin´eaire de grande dimension avec la m´ethode de Kaczmarz ([50], [45], et [38]). Les m´ethodes statistiques ont d’abord ´et´e utilis´ees pour r´esoudre le probl`eme de la tomo-graphie `a ´emission de position (TEP) [33]. Dans ces travaux, le faible taux de comptage des photons a conduit `a utiliser une statistique poissonnienne. Cette approche `a ensuite ´

et´e ´etendue `a la tomographie `a rayons X [18]. Notons que dans ce cas le mod`ele pois-sonnien n’est pas le plus pr´ecis car il y a la pr´esence d’un bruit ´electronique relativement important qui peux ˆetre facilement mod´elis´e par un bruit gaussien. Nous avons donc `a faire `a la somme d’un processus poissonnien et d’un bruit gaussien [20] et [16]. Nous exposerons donc dans la suite les principales approches alg´ebriques et statistiques.

II.3.1 M´ethodes alg´ebriques

Dans le CT, apr`es lin´earisation des mesures, nous obtenons les int´egrales des coefficients d’att´enuations de l’objet sur l’ensemble des lignes droites. Elles sont d´ecrites par les ´

equations lin´eaires. Du point de vue des m´ethodes alg´ebriques, le but de la reconstruction tomographique est de trouver les coefficients d’att´enuations inconnus en r´esolvant ces ´

equations lin´eaires.

Nous d´efinissons un objet f born´e dans un support rectangulaire Ω. f est discr´etis´e en N pixels avec N = N_f × N_f et un pixel est d´efini par un petit carr´e, voir la figure

2.8. Il y a Mφ projections entre le φ0 et φ0 + π, o`u φ0 est la position angulaire initiale. Les faisceaux des rayons X traversant l’objet sont mesur´es par M<sub>d</sub> cellules de d´etecteur. La discr`etisation de la transform´ee de Radon (eq.2.1) pour la mesure de la cellule i de mani`ere suivante :

g_i = ^X

fjsurLi,φ

f_jl_ij (2.44)

o`u le rayon X sur la ligne droite L_i,φ connecte la source et la cellule i du d´etecteur, i = (mφ− 1) ∗ Mφ+ md, avec le num´ero des projections mφ= 1, 2, ..., Mφet le num´ero de cellule de d´etecteur m_d = 1, 2, ..., M_d. l_ij est la longueur d’intersection de la ligne L_i,φ avec le pixel j de l’objet, ce qui repr´esente la contribution du pixel j de l’objet sur la mesure de la cellule i du d´etecteur, voir la figure2.8.

Pour tout l’objet, les ´equations peuvent ˆetre exprim´ees sous forme matricielle :

g = Hf (2.45)

avec g ∈ R^M le vecteur des mesures, o`u M est le nombre des mesures avec M = M<sub>φ</sub>∗ M<sub>d</sub>. La matrice de syst`eme H ∈ RM ×N, o`u son ´el´ement h<sub>ij</sub> d´ecrit la contribution du pixel j `a la mesure i du d´etecteur avec h_ij = l_ij, i=1, ..., M et j=1, ..., N.

Si la matrice du syst`eme H est inversible, la reconstruction de l’objet s’´ecrit comme

f = H⁻¹g (2.46)

M´ethodes de reconstructions it´eratives

Figure 2.8 – Illustration du rayon X i traversant l’image discr`ete de l’objet. Le pixel j est ´

enum´er´e par j = (j₂ − 1) ∗ N_f + j₁.

o`u H<sup>−1</sup> est l’inverse de la matrice du syst`eme H. Mais la matrice H n’est souvent pas inversible. D’abord, la matrice H n’est pas une matrice carr´ee si le nombre d’inconnus de f N n’est pas ´egal au nombre des mesures de g M. Ensuite elle n’est pas non plus inversible num´eriquement mˆeme si N est ´egal `a M avec pr´esence du bruit.

Afin de r´esoudre cette ´equation lin´eaire 2.45, Kaczmarz ([50] et [38]) a propos´e une solution it´erative. L’estimation de pixel j inconnu en (k + 1)i`eme est exprim´ee comme suit, f_j^(k+1), j=1, 2, ..., N, f_j^(k+1) = f_j^(k)+ ^gi− g_i^0(k) PN w=1h2 iw h_ij (2.47) avec g_i^0(k) = N X w=1 f_w^(k)hiw (2.48)

o`u g<sub>i</sub><sup>0(k)</sup> est la projection estim´ee de f(k) sur la ligne droite L<sub>i</sub>. Nous nous int´eressons `a la diff´erence entre les deux estimations successives δfj,

δf_j^(k+1) = f_j^(k+1)− f_j^(k)= ^gi− g_i^0(k) PN

w=1h2 iw

h_ij (2.49)

Les m´ethodes alg´ebriques de reconstruction tomographique bas´ees sur la m´ethode de Kaczmarz consistent `a r´esoudre l’´equation lin´eaire2.45de mani`ere it´erative. Elles peuvent

II.3.1 - M´ethodes alg´ebriques

ˆ

etre d´ecompos´ees en trois groupes : les m´ethodes ART [30], [51] et [52], les m´ethodes SIRT [31], [53] et les m´ethodes SART [32].

II.3.1.1 ART

Les m´ethodes ART sont introduites par Gordon et al en tomographie ´electronique et pho-tographie `a rayons X [30]. Gordon et al ont propos´e deux algorithmes alg´ebriques de re-construction tomographique, un algorithme alg´ebrique additif et un algorithme alg´ebrique multiplicatif (MART, acronyme de Multiplicatif Algebraic Reconstruction Technique).

En prenant en compte la contrainte de la positivit´e des coefficients d’att´enuation lin´eaire, Gordon et al ont r´e´ecrit l’´etape de mise `a jour (2.47) dans leur algorithme additif comme ci-dessous: f_j^(k+1) = max{f_j^(k)+ ^gi − g^0(k)_i PN w=1h2 iw h_ij, 0} (2.50)

le terme de mise `a jour de pixel j f_j de MART est donn´ee dans [30], f_j^(k+1) = ^gi

g_i^0f

(k)

j (2.51)

o`u g_i est la mesure du rayon X i et la projection du rayon X i g_i⁰ est estim´ee par l’´eq.2.48. La contrainte de la positivit´e est syst´ematiquement satisfaite si l’initialisation de f_j est positive. Une image initiale simple est utilis´ee pour tous les algorithmes dans [30] avec f(0) = ^Tc

N, o`u T_c est la somme des CALs de l’objet. T_c est calcul´e simplement, Tc =

M

X

i=1

gi (2.52)

Une approximation binaire dans la matrice du syst`eme H est utilis´ee dans [30]. h_ij =1 f_j ∈ L_i∩ Ω

0 f_j ∈ L/ _i∩ Ω ^(2.53)

Nous avons alors PN

w=1h²_iw = N_i dans l’´equation (2.47), o`u N_i est le nombre des pixels sur la ligne droite L_i. La diff´erence de pixel j (2.49) dans ART devient

δf_j^(k+1) = ^gi− g^0(k)_i

N_i ^(2.54)

avec h_ij = 1. L’´equation2.50 est r´e´ecrite comme ci-dessous, f_j^(k+1)= max{f_j^(k)+^gi− g_i^0(k)

N_i ^{, 0}. (2.55)}

L’approximation binaire est l’interpolation du plus proche voisin. Elle est correcte quand l’angle de projection φ = 0, parce que la longueur de l’intersection de la ligne L_φ est le nombre des pixels N_i multipli´e par la longueur unitaire de pixel. Mais elle n’est plus exacte quand φ = 45^°, la longueur de l’intersection devient√

2Ni multipli´e par unit´e 42

M´ethodes de reconstructions it´eratives

de pixel. Cela peut r´esulter des artefacts avec l’´equation (2.54). Nous modifions dans la suite l’´equation 2.54 [32] et [45], δf_j^(k+1) = ^gi Si − ^g 0(k) i Ni , (2.56)

o`u S_i est la longueur d’intersection du rayon X L_i avec l’objet.

En plus, les images reconstruites par ART sont de plus en plus bruit´ees au cours d’it´eration [31], [32], [45] et [38]. Afin d’avoir une reconstruction moins bruit´ee, nous pouvons utiliser la m´ethode de Kaczmarz avec relaxation. D’apr`es les ´equations 2.47,

2.49 et2.56, nous mettons `a jour de f_j avec relaxation comme suit : f_j^(k+1) = f_j^(k)+ $δf_j^(k+1) = f_j^(k)+ $(^gi

S_i − ^g

0(k) i

N_i ^{), (2.57)}

avec le param`etre de relaxation $, $ < 1. Les ARTs avec relaxation permettent une reconstruction moins bruit´ee ([54]) mais au d´etriment de la vitesse de convergence. Une autre solution de r´eduction du bruit dans les images reconstruites est de utiliser les m´ethodes SIRT [31] et [45].

II.3.1.2 SIRT

Dans les m´ethodes ART, nous mettons `a jour un pixel `a partir d’une projection pendant une it´eration. Dans une it´eration de SIRT, un pixel n’est pas modifi´e tant que toutes les projections soient utilis´ees [31]. Les formules additives (eq.2.50) et multiplicatives (eq.2.51) sont r´e´ecrites comme suit :

• algorithme additif direct

f_j^(k+1) = max{f_j^(k)+ PM i=1g_i PM i=1Si − PM i=1g^0(k)_i PM i=1Ni , 0} (2.58)

• algorithme multiplicatif direct f_j^(k+1) = PM i=1g_iPM i=1N_i PM i=1S_iPM i=1g_i^0(k)f (k) j (2.59)

La mise `a jour d’un seul pixel avec toutes les projections permet de r´eduire l’effet d’inconsistance de certaines projections dans SIRT. Par contre, le temps de calcul est plus long pour les approches SIRT, car la mise `a jour d’un seul pixel n´ecessite toutes les projections. Afin d’obtenir la qualit´e des images identiques aux approches SIRT tout en ayant un coˆut calculatoire limit´e, Andersen et al ont propos´e les m´ethodes SARTs [32] et [45].

II.3.1.3 SART

Les m´ethodes SARTs combinent les avantages des ARTs et des SIRTs [32], [45]. Pour cela, toutes les projections sont utilis´ees pour mettre `a jour un seul pixel comme SIRT et

II.3.1 - M´ethodes alg´ebriques

un mod`ele de projection plus pertinent est ´egalement utilis´e, ce qui permet une conver-gence plus rapide que celle des SIRTs. L’approche consiste `a ´echantillonner r´eguli`erement l’intersection du rayon X avec l’objet. Le pas d’´echantillonnage est not´e δs, la contribu-tion de l’objet `a la projection est calcul´e par interpolation lin´eaire en utilisant l’´equation ci dessous. Soit f (s_in) un point d’image et mi`eme l’´echantillon sur le rayons X i. Cette valeur peut ˆetre approch´ee comme suit :

f (s_in) = ^X

j∈V(f (sin))

d_ijnf_j (2.60)

o`u V(f (s<sub>in</sub>)) est le voisinage du point f (s<sub>in</sub>), d<sub>ijn</sub> est le coefficient de pond´eration associ´e `

a l’interpolation bilin´eaire d´ependant de la distance entre le pixel f (s_in) et ses voisins, n est le num´ero de l’´echantillon, n = 1, 2, ..., N_i⁰,(voir la figure2.9) [55] et [32]. La projection de rayon X i g_i⁰ est alors d´ecrite comme suit :

g⁰_i = N_i⁰ X n=1 f (s_in)δs = N_i⁰ X n=1 X j∈V(f (sin)) d_ijnf_j = N X j=1 f_j N_i⁰ X n=1 d⁰_ijnδs (2.61) avec

d⁰_ijn =d_ijn si pixel j ∈ V(f (s_in))

0 si pixel j /∈ V(f (s_in)) ^(2.62) En comparant l’´equation 2.48 et l’´equation 2.61, nous obtenons h_ij :

h_ij =

N_i⁰

X

n=1

d⁰_ijnδs (2.63)

Nous prenons δs ´egale `a la moiti´e de la largeur d’un pixel pour ne pas compromettre la r´esolution de reconstruction tout en ayant un coˆut de calcul r´eduit. Le pixel j f<sub>j</sub> est mis `

a jour avec toutes les projections dans les algorithmes de SART comme ci-dessous :

f_j^(k+1) = f_j^(k)+ PM i=1hij gi−PN j=1hijfj PN j=1hij  PM i=1h_ij ^(2.64)

Les m´ethodes alg´ebriques (ART, SIRT, SART) consid`erent la reconstruction tomo-graphique comme la solution des ´equations lin´eaires. Elles sont capables de reconstruire l’objet correctement quand le nombre des projections est limit´e et sont utiles dans le cas des projection non uniformes, o`u les m´ethodes analytiques ´echouent. Mais les m´ethodes alg´ebriques ne prennent pas en compte la nature stochastique du comptage des photons X par le d´etecteur (voir dans la sous-section I.3.2.3) et de la non-lin´earit´e dˆu au spectre des rayons X polychromatiques et du diffus´e. Pour cela, les m´ethodes statistiques sont donc propos´ees et bas´ees sur les mod`eles statistiques li´es `a l’acquisition, sur les m´ethodes de maximum de vraisemblance (MV) [18] et [20] et sur les m´ethodes bay´esiennes [35], [19] et [37].

M´ethodes de reconstructions it´eratives

Figure 2.9 – Illustration des projections avec ´echantillonnages r´eguliers. Le cercle (en ligne virtuelle) est la zone de reconstruction effective qui contient tout l’objet.

In document Méthodes itératives de reconstruction tomographique pour la réduction des artefacts métalliques et de la dose en imagerie dentaire (Page 67-72)