Étude expérimentale et théorique de l’effet de la vitesse de coupe sur la forabilité des roches sous pression de boue

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Étude expérimentale et théorique de l’effet de la vitesse

de coupe sur la forabilité des roches sous pression de

boue

Mohamed Amri

To cite this version:

Mohamed Amri. Étude expérimentale et théorique de l’effet de la vitesse de coupe sur la forabilité des

roches sous pression de boue. Sciences de la Terre. Université Paris sciences et lettres, 2016. Français.

�NNT : 2016PSLEM095�. �tel-02908810�

(2)

THÈSE DE DOCTORAT

de l’Université de recherche Paris Sciences et Lettres

PSL Research University

Préparée à MINES ParisTech

Étude expérimentale et théorique de l’effet de la vitesse de coupe sur

la forabilité des roches sous pression de boue

COMPOSITION DU JURY :

M. Alain MILLARD

CEA, Rapporteur

M. Pierre BÉREST (président du jury)

École Polytechnique

, Rapporteur

M. Jacques LESSI

ExLog, Membre du jury

M. Gilles PELFRENE

Varel, Membre du jury

M. Michel TIJANI

Mines ParisTech, Membre du jury

M. Hedi SELLAMI

Mines ParisTech, Membre du jury

Soutenue par Mohamed

AMRI

le 8 juillet 2016

h

Ecole doctorale

398

Géosciences, Ressources Naturelles et Environnement

Spécialité

Géosciences et Géoingénierie

Dirigée par Hedi SELLAMI

Gilles PELFRENE

h

Thèse confidentielle

(date de fin : 8/07/2020)

(3)
(4)

Cettethèse,qui est lefruitd'untravaild'équipe,s'est déroulée auCentre de

Géos- ien esdeMinesParisTe hauseindel'équipeGéologiedel'IngénieuretGéomé anique.

Je tiens à remer ier toutesles personnes quim'ontaidé àsa réalisation.

Jevoudraistoutd'abordremer ier grandementHediSELLAMI.Entantque

dire -teur de thèse, il m'a guidé dans mon travail et m'a aidé à trouver des solutions pour

avan er.

J'exprime mes profonds remer iements à Gilles PELFRENE, le o-en adrant de

ette thèse. Il a toujours fait preuve de disponibilité et de respe t. Ses qualités

hu-maines d'é oute et de ompréhension m'ont beau oup aidé à surmonter les moments

les plus di ilestout au long de e travail.

J'exprime tout parti ulièrement maprofonde gratitude à Mi helTIJANI,

numéri- ien et responsable de la formation do torale. Il m'a beau oup appris. Je le remer ie

pour son impli ation dans la programmation des modules de al ul utilisés dans e

projet.

Jeremer ie AlainMILLARD etPierre BÉREST d'avoir a epté d'être les

rappor-teurs de mathèse ainsi que Ja ques LESSId'avoir a epté d'en être l'examinateur.

Jedésiregrandementremer ierAhmedROUABHIetEmadJAHANGIR,quim'ont

assisté et en ouragé tout au long de e travail. Je les remer ie d'avoir voulu dis uter

ave moide mes travaux.Ces dis ussions m'ontpermisd'améliorerma ompréhension

des problèmes de modélisation.

Jeremer ie Laurent GERBAUD etMi hel ZANARDO qui m'ont beau oup aidé à

bien mener la ampagneexpérimentale de ettethèse.

Je remer ie Alfazazi DOURFAYE, responsable R&D de la so iété Varel-Europe,

pour son rle a tif dans laréalisationde ette étude.

Jeremer ielesnombreux do torantsetstagiairespour lesdis ussions intéressantes

pendant les pauses afés. J'aimerais également remer ier Mohamed MAHJOUB et le

personneldu servi e informatique(Charles, Christophe,Vin ent)pour lesmémorables

parties de billard.

Enn, je voudrais exprimer ma re onnaissan e àmes parents etmes on les Jamal

(5)

L'optimisation des systèmes de forage né essite une meilleure ompréhension des

vibrationsindésirables omme lesti k-slip.Ce phénomènevibratoire, quiae te

prin- ipalementlesoutilsPDC(Poly rystalline DiamondCompa t),met enpérill'intégrité

deséquipementsde forage etréduit onsidérablementlavitesse depénétrationde

l'ou-til.Plusieurstravauxont été menés es dernières annéespour déterminer ses origines.

Lesobservationsréaliséesenfonddepuitsmontrentque esos illationss'a ompagnent

systématiquementd'unebaissedu oupleàl'outilenfon tionde savitesse derotation.

De nombreux groupes de re her he attribuent ette baisse de performan e à

l'o ur-ren edu sti k-slip.

L'obje tifde etravailestdedévelopperunmodèleélémentairede oupequipermet

d'analyserl'eet de la vitesse de oupe sur laforabilité des ro hes dansdes onditions

opératoires réalistes. Dans le adre de ette thèse, nous avons réalisé une série

d'es-sais de oupe en utilisant des taillants et des outils à é helle réelle dans trois ro hes

de propriétés hydromé aniques diérentes, et e i à pression atmosphérique et sous

pressiondeuide. Lesessaisréalisésàpressionatmosphérique montrentqueleseorts

élémentairesde forage augmentent ave lavitesse de oupe.Souspressionde boue, et

eetdépend largementde laperméabilitéde laro he. Eneet, nousavons observéque

l'eet de la vitesse est relativement faibledans les formationsde faibleetde moyenne

perméabilité sous pression de boue de 20 MPa. En revan he, et eet augmented'un

ordrede grandeur dans les ro hes très perméables.

An de omprendre es observations, nous avons développé un modèle

hydromé- anique d'intera tion taillant-ro he onstruit à partir de la théorie de la

poroélasto-plasti ité. D'abord, le problème est résolu analytiquement en s'inspirant des travaux

existants.Parlasuite,nousavons apportéunerésolutionnumériqueauxélémentsnis

des équations de la promé anique appliquées à la oupe des ro hes sous pression de

boue. Lesdeux modèles montrent quele phénomènede dilatan e génèreune baisse de

la pression de pore qui augmente la résistan e de la ro he au forage. Cette hute de

pressiondépend de lavitessede oupeainsique des ara téristiqueshydrodynamiques

de la ro he. Les résultats théoriques ont été omparés aux nombreux résultats

expéri-mentaux obtenus dans le adre de e travail.

Mots lés : Coupe des ro hes, vibrations, sti k-slip, vitesse de oupe, forabilité,

(6)

The optimization of the drilling pra ti e requires a better understanding of

drill-stringharmfulvibrationssu hassti k-slip.Thisformoftorsionalvibrationsisatypi al

problem of PDC (Poly rystalline Diamond Compa t) drillbits. It an redu e the rate

of penetrationdrasti ally and an raise fatigue of the drilling devi es. Many attempts

were arried out in the last years in order to determine the auses of sti k-slip

phe-nomenon. Field observations show that torque on bit de reases as a fun tion of bit

velo ity during sti k-slip os illations. Hen e, it is widely believed that this de reasing

relationship is the root ause of sti k-slip.

The purpose of this work is toexamine utting speed inuen e on ro k drillability

as a fun tion of operating onditions and hydrome hani al properties of the drilled

formation. Forthis, aset ofdrilling tests wasperformedin threesedimentary ro ks of

dierent permeability using a full s ale PDC drillbit and a single PDC utter. In the

rststep, drytests were arriedoutatatmospheri pressure. Aspreviously observed in

literature, single- uttertests showed thatdrilling for es in rease with uttingvelo ity.

Inase ondstep,weperformedthesameexperimentsat20MPabottom-holepressure.

It appears thatrate ee t on uttingfor es inthe mediumand low-permeabilityro ks

is relativelylow. By ontrast, rateee t inthe highlypermeable ro k in reases by one

order of magnitude in omparison with dry experiments.

In order to understand this phenomenon, a steady state solution of the utting

modelisderivedinthe frameworkof thetheoryof poroelastoplasti ity.Theproblemis

rstlysolved analyti allyusingsomeassumptionsderivedfrompreviousworks.Then,a

numeri alresolutionbasedonniteelementmethodispresentedtosolvethefully

ou-pled problemensuring the satisfa tion of poro-materialphysi s basi equations. Using

these two dierent approa hes, we show that pore pressure in shear-dilatant ro ks

de reases asafun tionof uttingvelo itydependingonro kpermeabilityand

intersti-tialuidproperties.This hangehas ahardeningee t resultinginanin rease of ro k

drillingresistan e.Comparisonbetween theoryandexperien eshowsgoodagreements.

Keywords : Ro k utting,sti k-slip,rate ee t, drillability,dilatan y,permeability,

(7)

Remer iement ii

Résumé iii

Abstra t iv

Table des matières viii

Liste des gures xii

Liste des tableaux xiii

Introdu tion générale 1

1 Problématique du sti k-slip 3

1.1 Introdu tion . . . 4

1.2 Généralités sur leforage pétrolier . . . 4

1.2.1 Prin ipesdu forage rotary . . . 4

1.2.2 Les outils de forage de typePDC . . . 5

1.2.3 Le uide de forage . . . 6

1.2.4 Paramètres du forage . . . 7

1.2.5 Les vibrationsen forage pétrolier . . . 7

1.3 Eet de l'intera tion outil-ro he sur lesti k-slip . . . 9

1.3.1 Phénomène du sti k-slip . . . 9

1.3.2 Modélisationdu sti k-slip . . . 11

1.3.2.1 Appro he en torsion-pure . . . 11

1.3.2.2 Appro he oupléeaxial-torsion . . . 13

1.3.3 Synthèse . . . 15

1.4 Rle de laloi outil-ro he dans lesti k-slip . . . 16

1.4.1 Introdu tion . . . 16

1.4.2 Équation de mouvement normalisée . . . 17

1.4.3 Solution du problème . . . 17

1.4.4 Vitesse seuil etintensité du sti k-slip . . . 18

1.4.5 Étude de sensibilitéde l'eet de laloi d'intera tion outil-ro he . 19 1.4.6 Synthèse . . . 19

1.5 Con lusion . . . 20

2 Étude expérimentalede l'eet de la vitesse de oupe des ro hes sous pression de uide 21 2.1 Introdu tion . . . 22

(8)

2.2.2 Eet de la vitesse de oupe àpression atmosphérique . . . 24

2.2.3 Eet de la pressiondu uidede forage . . . 25

2.2.4 Eet de la vitesse de oupe sous pressionde boue . . . 27

2.3 Étude expérimentale de l'eet de la vitesse de rotation à l'é helle d'un outil . . . 29

2.3.1 Introdu tion . . . 29

2.3.2 Dispositifexpérimental . . . 29

2.3.2.1 Ban de forage . . . 29

2.3.2.2 Pro édure expérimentale . . . 30

2.3.2.3 Cara téristiques des ro hes testées . . . 31

2.3.2.4 Conditions opératoires . . . 32

2.3.3 Résultats expérimentaux . . . 32

2.3.3.1 Eet de la vitesse sur la vitesse d'avan ement . . . 32

2.3.3.2 Eet de la vitesse sur la profondeur de passe . . . 33

2.3.4 Dis ussion . . . 34

2.4 Étude expérimentale de l'eet de lavitesse de oupe àl'é helle élémen-taire d'un taillant . . . 35

2.4.1 Introdu tion . . . 35

2.4.2 Dispositifexpérimental . . . 35

2.4.2.1 Cellule de forabilité. . . 35

2.4.2.2 Pro édure expérimentale . . . 37

2.4.2.3 A quisitiondes données . . . 39

2.4.2.4 Traitement des données . . . 39

2.4.3 Résultats expérimentaux . . . 40

2.4.3.1 Cara téristique générale de tous les résultats . . . 41

2.4.3.2 Ro he peu perméable : al airede Buxy . . . 41

2.4.3.3 Ro he moyennement perméable : al aire d'Anstrude . 43 2.4.3.4 Ro he très perméable :grès des Vosges . . . 44

2.4.4 Dis ussion . . . 47

2.5 Con lusion . . . 47

3 Analyse bibliographique des modèles d'intera tion taillant-ro he 49 3.1 Introdu tion . . . 50

3.2 Théoriedu ouplage hydromé anique des milieuxporeux saturés . . . . 50

3.2.1 Les milieuxporeux . . . 50

3.2.1.1 Dénition . . . 50

3.2.1.2 Spé i ités des ro hes . . . 50

3.2.2 Prin ipedu ouplage hydromé anique. . . 51

3.2.2.1 Notion de ontrainteee tive en poroélasti ité. . . 52

3.2.2.2 Notion de ontrainteee tive en poroélastoplasti ité . 53 3.2.3 Modèle mé anique . . . 53

3.2.3.1 Loi d'équilibremé anique . . . 53

3.2.3.2 Loi de omportement . . . 54

3.2.4 Modèle hydraulique . . . 56

3.2.4.1 Loi de onservation de lamasse . . . 56

3.2.4.2 Loi d'é oulementhydraulique . . . 56

3.2.4.3 Équation de diusion . . . 56

(9)

3.3 Modélisationde l'eet de lavitesse de oupeà pressionatmosphérique 59

3.3.1 Prin ipegénéral . . . 59

3.3.2 Modèle de Detournay etDefourny(1992) . . . 60

3.3.3 Modèle de Gerbaud et al.(2006) . . . 62

3.3.4 Modèle de Pelfrene (2010) . . . 64

3.4 Modélisationde l'eet de la vitesse de oupe sous pressionde uide en labourage sous-marin . . . 66

3.4.1 Modèle de van Os etvan Leussen (1987) . . . 66

3.4.2 Modèle de Palmer (1999) . . . 68

3.4.3 Synthèse . . . 71

3.5 Modélisationde l'eetde lavitessede oupedes ro hes sous pressionde uide . . . 71

3.5.1 Modèle de Kolle (1993) . . . 71

3.5.2 Modèle de Detournay etAtkinson(2000) . . . 72

3.5.3 Modèle de Cardona (2011) . . . 74

3.6 Con lusion . . . 76

4 Appli ation de la poromé anique à la modélisation de la oupe des ro hes 77 4.1 Introdu tion . . . 78

4.2 Modèle poromé anique d'intera tion taillant-ro he . . . 78

4.2.1 Données géométriques . . . 78

4.2.2 Problème hydraulique . . . 79

4.2.2.1 Hypothèse du régime stationnaire . . . 79

4.2.2.2 Impli ation sur l'équationde diusion . . . 80

4.2.2.3 Domaine de validité . . . 80

4.2.2.4 Conditions aux limite et hargement hydraulique . . . 81

4.2.3 Problème mé anique . . . 82

4.2.3.1 Loi de omportementélastoplastique . . . 82

4.2.3.2 Critère de plasti itéde Mohr-Coulomb . . . 82

4.2.3.3 Modélisationde la dilatan e . . . 83

4.2.3.4 Stationnarité de l'é oulementplastique . . . 83

4.2.3.5 Chargementsmé aniques . . . 84

4.2.4 Synthèse . . . 84

4.3 Solution analytiqueappro hée . . . 85

4.3.1 Modèle de oupe . . . 86

4.3.1.1 Hypothèses . . . 86

4.3.1.2 Cal ul des eorts . . . 87

4.3.1.3 Synthèse . . . 89

4.3.2 Modèle de diusion . . . 90

4.3.2.1 Champ de pression de pore . . . 90

4.3.2.2 Résultats . . . 91

4.3.2.3 Dis ussion . . . 93

4.3.3 Con lusion . . . 94

4.4 Solution numérique . . . 94

4.4.1 Des ription du modèle numérique . . . 94

4.4.1.1 Résolutiondu problème hydromé anique ouplé . . . . 95

(10)

4.4.2 Paramètres d'entrée du modèle numérique . . . 98

4.5 Étude de sensibilité . . . 98

4.5.1 Paramètres de l'étude. . . 98

4.5.2 Création du opeau . . . 99

4.5.3 Champs de ontraintes etde déformations àla rupture . . . 100

4.5.4 Étude paramétrique. . . 101

4.5.4.1 Cas d'étude . . . 101

4.5.4.2 Carte de la pressionde pore . . . 102

4.5.4.3 Cas d'une ro he non-dilatante . . . 103

4.5.4.4 Eet de

λ

et de

β

sur

p

. . . 104

4.5.4.5 Eet de

λ

et de

β

sur

σ

0

. . . 105

4.5.4.6 Eet de

λ

et de

β

sur

α

. . . 106

4.5.4.7 Dis ussion . . . 107

4.6 Confrontation du modèle etdes essais de oupe . . . 107

4.6.1 Propriétés hydromé aniques du grès des Vosges . . . 108

4.6.2 Comparaison ave le modèle poromé anique . . . 108

4.6.2.1 Ajustement de

D

et

∆φ

. . . 108

4.6.2.2 Ajustementde

k

b

. . . 109

4.6.2.3 Confrontationdes résultats expérimentauxave le mo-dèle poromé anique. . . 110

4.6.3 Synthèse . . . 113

4.7 Con lusion . . . 114

Con lusion générale et perspe tives 116

Annexes I

A Solution du problème de sti k-slip II

B Complément de l'étude expérimentale IV

B.1 Étude de la pressurisation . . . V

B.2 Étude expérimentale de l'intera tion taillant-ro he . . . VII

C Complément du modèle poromé anique IX

C.1 Eorts de oupe . . . IX

C.2 Champde lapression de pore . . . XII

C.3 Évolution de Sen fon tionde

λ

. . . XIV

C.4 Modélisationde l'é oulement plastiquestationnaire . . . XVI

(11)

1.1 S héma de prin iped'une installationde forage rotary . . . 5

1.2 Nomen lature d'un outil de forage (sour e : Varel) . . . 6

1.3 Mesures de lavitesse de rotationde l'outil[17℄ . . . 9

1.4 Coupleà l'outilen fon tion de lavitesse de rotationàdiérentspoids à l'outil . . . 10

1.5 Représentation d'un modèle en torsion-pure [26℄ . . . 12

1.6 Modélisationdu ouple de frottementà l'outil en fon tion de savitesse de rotation. . . 13

1.7 Représentation d'un modèle ouplé axial-torsion[47℄. . . 14

1.8 Loi de Coulomb modiée. . . 16

1.9 Les diérentes solutionsdu problème . . . 17

1.10 Eet de la vitesse imposée en surfa e sur l'amplitude de la vitesse de rotation de l'outil . . . 18

1.11 Eet de la loid'intera tion outil-ro he sur le sti k slip . . . 19

2.1 S hématisation d'un essai de oupe àl'é helle du taillant . . . 23

2.2 Variations des eorts de forage ave la vitesse de oupe dans quatre ro hesàpressionatmosphériqueetàprofondeurdepasse

h = 0.4

mm/tr (d'après [42℄) . . . 25

2.3 Variations de l'énergie spé ique de oupe E

=

F

S

c

ave la pression de pore initiale

p

0

pour

p

b

= 10

MPa, d'après[15℄ . . . 26

2.4 Variations de l'énergie spé ique de oupe E

=

F

S

c

ave la pression de uide

p

b

= p

0

d'après [44℄. . . 27

2.5 Variations de l'énergie spé ique de oupe E

=

F

S

c

en fon tion de la pression diérentielle

p

b

− p

0

d'après[2℄ . . . 27

2.6 Variations de la résistan e au forage S

=

Fn

S

c

ave la pression hydro-statique appliquée sur la ro he pour trois vitesses de oupe à

h = 0.3

mm/tr, d'après[29℄ . . . 28

2.7 Eortsde oupeenfon tiondelavitessedansdeuxsolsdeperméabilités diérentes (Grinsted (1985), ité par [40℄) . . . 28

2.8 S héma de prin ipedu ban de forage du Centre de Géos ien es . . . . 30

2.9 Vitesse d'avan ement del'outil(ROP) fon tionde savitesse derotation (RPM) . . . 33

2.10 Profondeur de passe (

h

) fon tion de lavitesse de rotation(RPM) . . . 34

2.11 Conguration de la ellule de forabilité . . . 36

2.12 Évolution du degré de saturation en fon tion du temps dans legrès des Vosges . . . 38

2.13 Géométrie de oupe . . . 38

(12)

des Vosges ave

h = 1

mm/tret RPM =120 tr/min . . . 40

2.16 Évolution de l'eort normal et de la se tion de oupe (à partir du mo-ment de onta t ave la ro he) en fon tion du temps dans le grès des Vosges à

h = 1

mm/trpour une vitesse de 120 tr/min . . . 41

2.17 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant pour diérentes vitesses de rotation dans le al aire de Buxy,

P

atm

,

h = 1

mm/tr . . . 42

2.18 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant pour diérentes vitesses de rotation dans le al aire de Buxy,

p

b

= 20

MPa,

h = 0.75

mm/tr . . . 42

2.19 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillantpourdiérentesvitesses de rotationdans le al aired'Anstrude,

P

atm

,

h = 1

mm/tr . . . 43

2.20 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillantpourdiérentesvitesses de rotationdans le al aired'Anstrude,

p

b

= 20

MPa,

h = 0.75

mm/tr . . . 43

2.21 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant pour diérentes vitesses de rotation dans le grès des Vosges,

P

atm

,

h = 1

mm/tr . . . 44

2.22 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant pour diérentes vitesses de rotation dans le grès des Vosges,

p

b

= 20

MPa,

h = 1

mm/tr . . . 45

2.23 Évolution de l'eort normal en fon tion de l'eort tangentiel dans le grès des Vosges,

p

b

= 20

MPa,

h = 1

mm/trpour diérentes vitesses de rotation . . . 45

2.24 Genèsede opeaux lorsdes essais danslegrès des Vosges,

p

b

= 20

MPa,

h = 1

mm/tr . . . 46

3.1 Des riptiond'un matériauporeux saturé . . . 51

3.2 S héma de prin ipedes modèles élémentairesde oupe . . . 59

3.3 Diagramme(E,S) expérimental[13℄ . . . 61

3.4 Exemple de validationdu modèlede [10℄ dans le grès des Vosges (

R

c

=

45.7

MPa,

ϕ = 34.1

) . . . 62

3.5 Modèle élémentaire de oupede [20℄. . . 63

3.6 Problèmede oupe de Pelfrene. . . 65

3.7 Modèle de diusion de [39℄ . . . 67

3.8 Eortsde oupeenfon tionde lavitessedansdeuxsolsdeperméabilités diérentes pour diverses profondeurs de passe

h

(noté

H

) (Grinsted (1985), ité par [40℄) . . . 70

3.9 Modèle de diusion de [11℄ . . . 72

3.10

g

fon tion de

λ

pour diérents angles

α

[11℄ . . . 73

3.11 Conditions aux limites et onditions initiales du modèle de [6℄. BC (Boundary Condition) indique les onditions aux limites pour lesol (s) et leuide (f) . . . 75

3.12 Variationde l'énergiespé ique de oupe en psi(1 psi=0.00689 MPa) ave la pression de onnement d'après [6℄. Les er les représentent les mesures tiréesde [44℄ etlalignerouge dis ontinue représenteles prédi -tions du modèlenumériquede [6℄ . . . 75

(13)

4.2 Énergie spé ique . . . 80

4.3 Phénomène de dilatan e . . . 84

4.4 Chargements mé aniques . . . 84

4.5 Modèle élémentaire de oupe . . . 86

4.6 Dénition de

S

b

[35℄ . . . 88

4.7 Modèle de diusion . . . 90

4.8 Variationde lapression de pore normalisée pour

λ = 1

et

α = 22.5

(le opeau est modélisépar letriangle) . . . 92

4.9 Variation de la dépression

|¯p − p

0

|

normalisée ave

λ

pour diérentes valeurs de

α

. . . 93

4.10 Algorithmedes simulationshydromé aniques totalement ouplées . . . 96

4.11 Maillage du problème pour

h

=1 mm/tr . . . 97

4.12 Format du opeau pour

β = 2

et

λ = 1

. . . 100

4.13 Résultats des simulationsnumériquespour

β = 2

et

λ = 1

. . . 101

4.14 Résultatsdes simulationsnumériquesfortement ouplées :variationsde la pression de pore

p − p

0

à la rupture pour diérentes valeurs de

β

et de

λ =

vh

2D

. . . 103

4.15 Variationsdu hangementde la pressionde poremoyenne

p

¯

etde

σ

0

en fon tion de

λ =

vh

2D

pour

β = 1

. . . 104

4.16 Variationsen fon tion de

λ =

vh

2D

du hangement de lapression de pore moyenne

p

¯

sur le opeau pour lesdiérentes méthodes de résolution . . 105

4.17 Variationsde

σ

0

en fon tion de

λ =

vh

2D

pourlesdiérentes méthodesde résolution . . . 106

4.18 Variationsde

α

ave

λ =

vh

2D

pour diérentes valeurs de

β

. . . 106

4.19 Variationsde E

=

F

S

c

ave de

λ

al uléthéoriquement pour

∆φ = 0.01

,

h = 1

mm/tret

p

b

= 20

MPa . . . 109

4.20 Diagramme (E,S) des essais élémentaires de oupe dans le grès des Vosges sous pression de uide de 20 MPa . . . 110

4.21 Évolution de E

=

F

S

c

en fon tion de

λ

et de la vitesse de rotation à

h = 0.75

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . 111

4.22 ÉvolutiondeE

=

F

S

c

enfon tionde

λ

etde lavitesse derotationà

h = 1

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . 111

4.23 Évolution de E

=

F

S

c

en fon tion de

λ

et de la vitesse de rotation à

h = 1.25

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . 112

4.24 Évolution de E

=

F

S

c

en fon tion de

λ

et de la vitesse de rotation à

h = 1.5

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . 112

4.25 Comparaison entre lesmodèles numériques, le modèle analytique et les mesures . . . 113

4.26 Pression de pore moyenne sur le opeau

p

¯

pour une pression de pore initiale

p

0

= 20

MPa . . . 114

B.1 Variationsdel'épaisseurpressuriséeave letempsdanslegrèsdesVosges

et le al aire d'Anstrude pour diérents uides . . . V

B.2 Champ de pression de pore en MPa dans le al aire d'Anstrude après

15 minutes de pressurisation ave laboue à base d'eau . . . VI

B.3 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du

taillant pour diérentes vitesses dans le grès des Vosges ave

p

b

= 20

(14)

taillant pour diérentes vitesses dans le grès des Vosges ave

p

b

= 20

MPa et

h = 1.25

mm/tr . . . VII

B.5 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du

taillant pour diérentes vitesses dans le grès des Vosges ave

p

b

= 20

MPa et

h = 1.50

mm/tr . . . VIII

B.6 Évolutiondel'eortnormalenfon tiondelapositionverti aledutaillant

pour diérentes vitesses dansle grèsdes Vosges saturéà pression

atmo-sphérique età

h = 1.00

mm/tr . . . VIII

C.1 Géométrie de oupe . . . IX

C.2 Évolution de S

=

Fn

S

c

en fon tion de

λ

et de la vitesse de rotation à

h = 0.75

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . XIV

C.3 Évolutionde S

=

F n

S

c

enfon tionde

λ

etdelavitessede rotationà

h = 1

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . XIV

C.4 Évolution de S

=

F n

S

c

en fon tion de

λ

et de la vitesse de rotation à

h = 1.25

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . XV

C.5 Évolution de S

=

Fn

S

c

en fon tion de

λ

et de la vitesse de rotation à

h = 1.5

mm/tr;

p

b

= 20

MPa . . . XV

C.6 Champde déformations plastiquesvolumiques . . . XVII

C.7 Évolution de E

=

F

S

c

(15)

2.1 Cara téristiques des ro hes testées . . . 31

2.2 Programme des essais réalisésà l'é helle de l'outil . . . 32

2.3 Cara téristiques de la ellulede forabilité . . . 36

2.4 Paramètres hyrodynamiques de l'huilede forage et de l'eau à tempéra-ture ambianteet à pressionatmosphérique . . . 37

2.5 Programme des essais élémentaires de oupe . . . 41

4.1 Ordre de grandeur de

λ

pour diérents matériaux . . . 81

4.2 Synthèse des équationsde base à résoudre pour le problème de oupe . 85 4.3 Valeurs de

k

b

pour lesdiamètres standards de PDC [35℄ . . . 88

4.4 Paramètre d'entrée du modèle de oupe . . . 89

4.5 Paramètres d'entrée pour leslogi iels VIPLEF etHYDREF . . . 98

4.6 Jeu de paramètres utilisé pour les simulationsnumériques. . . 99

B.1 Diusivité du grès des Vosges et du al aire d'Anstrude en m

2

/s pour

(16)

Ce travailfait partied'un vaste programmede re her he auCentre de Géos ien es

de Mines ParisTe h sur la modélisation du omportement des systèmes de forage. Il

s'ins ritdansle adred'une ollaborationave laso iétéVarel-Europe,l'un desleaders

danslafabri ationdesoutilsde foragepétrolier.Cetravailviseàdévelopperunmodèle

d'intera tion taillant-ro hequi permetde mieux traduirele omportementmé anique

de l'outil et de mieux prédire et optimiser ses performan es en fon tion de plusieurs

paramètres telles que la géométrie de oupe, les propriétés de la ro he, la vitesse de

oupe ouen ore lapression interstitielledans laro he.

Le modèle devrait également permettre de déterminer les auses du sti k-slip qui

ae teprin ipalementlesoutilsdeforagede typePDC(Poly rystallineDiamond

Com-pa t).Eneet,lesmesures enforage montrentque emode devibrations'a ompagne

systématiquement d'une baisse du ouple à l'outil en fon tion de sa vitesse de

rota-tion. Selon de nombreux auteurs, ette observation signie que les eorts de forage

sont fon tionsde la vitessede oupe.La littérature onsa rée àla oupe des ro hes ne

propose que très peu de modèles qui tiennent ompte de et eet. Leur appli abilité à

la oupedes ro hes dans des onditions opératoiresréalistes resteen ore très limitée.

C'estdans ebut quenous présentonsunnouveau modèleélémentairede oupequi

traduitlerlede lavitesse dutaillantsur leseorts de oupeviauneappro he ouplée

hydromé anique.Cette démar he théoriqueest fondée sur une large ampagne

expéri-mentale qui amisen éviden el'existen e d'uneet de vitesse de oupe quidépend de

lapressionduuidedeforage(pressiondeboue)etdelaperméabilitédelaro heforée.

Plan de la thèse

Dansle hapitre1,onprésented'aborddesgénéralitéssurlessystèmesdeforage

pé-trolierde typerotary.Ensuite,onintroduitlephénomènede sti k-slipetlesdiérentes

appro hesutiliséespourlemodéliser.Nousmontronsenparti ulierlesdivergen esentre

esappro hes.Enn,onprésenteuneanalysedu omportementdynamiqued'une

stru -ture de forage en proposant un nouveau modèle de sti k-slip.Une étude de sensibilité

est réalisée pour illustrer le rle de la loi d'intera tion outil-ro he sur l'o urren e et

l'intensitédu sti k-slip.

Dans le hapitre2, on présente les résultatsd'une étude expérimentale axée d'une

part sur l'eet de la vitesse de rotation sur les performan es d'un outil de forage à

l'é helle réelle, etd'autre part sur l'eet de lavitesse de oupe sur un taillant

(17)

fournir un support expérimental qui viendra à l'appui du nouveau modèle développé

dans le hapitre 4.

Le hapitre3portesur uneanalysebibliographique on ernantlesmodèles

élémen-taires de oupe. Cette analyse est fo alisée sur le rle de la vitesse de oupe et de la

pression de boue sur la forabilitédes ro hes.

Dansle hapitre4,nousprésentonsunmodèleélémentairede oupequitient ompte

del'eetdelavitessede oupeetde eluidelapressiondeboue.Cemodèleest onstruit

àpartir de lathéoriede ouplagehydromé anique.On introduittout d'abordles

prin- ipes de la promé anique pour en déduireles ingrédientsmathématiques du problème

de oupe.Unesolutionanalytiqueappro hée du problèmede oupeest alors proposée.

Ensuite,onprésenteune résolutionnumériqueplus omplète.Ave esdeux appro hes

poromé aniques, on montre que le ouplage hydromé anique permet d'expliquer

l'in-uen e de lavitesse de oupesurleseortsde oupe.Enn,l'appro heporomé anique

est onfrontée aux résultats des essais expérimentaux réalisés dans le adre de ette

(18)
(19)

L

es vibrations des garnitures de forage mettent en péril l'intégrité mé anique des

tiges de forage,des équipementséle troniquesembarquéset deladurée de viedes

outils de forage. C'est, en parti ulier, le as pour le phénomène de sti k-slip qui est

une forme de vibrations de torsion durant lesquelles l'outil de forage subit des y les

de blo ageetde déblo age àbassefréquen e.Ces vibrationssontauto-entretenues. En

eet, quandlagarniture entre en mode desti k-slip, e phénomènepersistetantquele

foreur n'agit pas sur les onditions opératoires. Ces vibrations ralentissent l'opération

de forage eten augmententle oût ar pendantdes phasessévèresde sti k-slip,la

gar-niture et les équipements de forage peuvent subir des usures permanentes qui exigent

leur rempla ement.

Lesti k-slipae te prin ipalement lesoutils PDC(Poly rystalline Diamond

Com-pa t).Diérentes solutionste hniquesontétédéveloppéesau oursdestrentedernières

années pour diminuer l'o urren ede e problème. Des systèmes d'asservissement ont

été proposés pour déte terautomatiquementlesti k-slipetagirsur les onditions

opé-ratoires an de minimiser son o urren e. En même temps, de nombreux travaux de

re her he expérimentauxet théoriques ontété réalisés es dernières années pour

om-prendre le rle de lagarniture de forage etdu pro essus d'intera tion outil-ro he dans

l'o urren edu sti k-slip[30, 42,48℄.

Ce hapitre introdu tif a pour but de présenter le phénomène de sti k-slip et les

appro hes utiliséespourlemodéliser.Nousprésentons toutd'abord des généralitéssur

les systèmes de forage pétrolier de type rotary. Puis, nous présentons une analyse

bi-bliographique entrée surlesappro hesthéoriques existantes dusti k-slipdes outilsde

forage de type PDC.Nousmontrons enparti ulier lesdivergen es entre es appro hes.

Nous terminons e hapitre par une étude de sensibilitéaxée sur le rle de la loi

d'in-tera tion outil-ro he sur l'o urren e du sti k-slip, et e i à partir d'une appro he en

torsion pure.

1.2 Généralités sur le forage pétrolier

1.2.1 Prin ipes du forage rotary

Le forage rotary onsiste à faire tourner au fond du trou un outil de forage tout

en luiappliquantune poussée.Lagure 1.1montre l'ar hite turede base utiliséepour

reuser un puits. Un train de tiges métalliques transmet la rotation et la poussée à

l'outil. Cette stru ture est omposée de tiges et de masses-tiges au bout desquelles

l'outil deforage est vissé.Unsystème de pompeshydrauliquespermetde faire ir uler

la boue de forage à l'intérieur de la garniture et qui remonte à la surfa e, hargée de

(20)

BHA

Tiges

Outil

Tête d'injection

Table rotative

Crochet

Bac à boue

Masses



tiges

Stabilisateur

Figure 1.1S héma deprin ipe d'uneinstallation deforage rotary

Les puits de pétrole peuvent avoir des traje toires omplexes d'une longueur de

plusieurs kilomètres. Les puits horizontaux permettent d'augmenter la surfa e

d'ex-position du puits aux réservoirs grâ e à une longueur de ro he traversée nettement

supérieure à elle des puits verti aux onventionnels [8℄.

1.2.2 Les outils de forage de type PDC

L'undesfa teurslesplus ru iauxdansl'optimisationduforageestle hoixde

l'ou-tilquidoit assurerunevitesse d'avan ement optimaleave uneduréede viemaximale.

En eet, l'usure de l'outil peut avoir lieu dans les formations dures et/ou abrasives

et en parti ulier dans des onditions de vibrations sévères. Cette usure peut exiger le

rempla ement de l'outil dans ertains as. Cette opération est très oûteuse ar elle

né essite plusieurs heures de man÷uvres de la garniture de forage.

Deux prin ipauxtypes d'outilsde forage sontutilisés :

Lesoutilstri nes:ilssont onstituésdetroismolettesmobilesdisposéesave un

intervalle angulairede 120

. Lesélémentsde oupe sont, soitdes dents en a ier,

soitdesinsertsen arburedetungstènepourlesro hesdures.Ilest généralement

admisque es élémentsde oupe abattent laro he par poinçonnement.

Lesoutils monoblo sdiamantés :ilssont onstituésde taillantsxés surle orps

del'outil.Ces outilspeuventêtre lassésen trois atégories selonlematériauqui

onstitue lesparties oupantes :

 Diamantnaturel;

 DiamantTSP (Thermally Stable Poly rystalline);

 DiamantPDC (Poly rystalline DiamondCompa t).

Il est généralement admis que le mode de oupe des ro hes par des outils PDC est le

isaillement.Cemoded'abattagepermetd'obtenirdesvitessesd'avan ementnettement

supérieuresauxoutilstri nesenro hesmoyennementdures.Unoutildeforagedetype

(21)

Taillants PDC: lestaillantssont onstitués d'une ne ou he de diamant

syn-thétique d'une épaisseur de 1 à 3 mm, frittée sur un support en arbure de

tungstène.

Buses: laboue de forage ir ule àtravers es trous positionnés sur leslames de

oupe. Le diamètre des buses dépend des spé i ités hydrauliques du forage en

ours.

Garde a tive : elle est omposée de pastilles tronquées, dites trimmers. Elle

dénit lediamètrenominal du trou.

Garde passive :il s'agit de lapartie stabilisantede l'outil. Ellepermet

notam-ment de ontrler lemouvementlatéral de l'outil.

Absorbeursde ho s:ilssontfabriquésen diamantsynthétiqueouen arbure

de tungstène. Ils servent à ontrler l'engagement de l'outil dans la ro he. Ils

permettentégalementdeprotégerlesPDC ontreles ho spendantlesvibrations

axiales.Ces omposantspeuventêtrepositionnésau entre del'outilpour limiter

le oupleou bien lutter ontre lesvibrations latéraleset axiales.

Taillant PDC

Buse

Absorbeur

de chocs

Connexion API

Garde passive

Garde active

Figure1.2 Nomen latured'un outil deforage (sour e:Varel)

1.2.3 Le uide de forage

Laboue de forageest inje tée en surfa eàl'intérieurdes tiges ave un débitetune

pression ontrlés pourressortirà travers lesbuses de l'outiletremonter dans l'espa e

annulairepouratteindrelesba sàboueensurfa e.Puisrepompéedenouveau,laboue

ee tue un ir uit fermé. La pression de boue est mesurée à l'entrée des tiges et à la

sortie de l'espa e annulaire pour déte ter lespertes de harge. La boue de forage doit

assurer plusieursrles :

Remonter lesdéblais de ro he du fonddu trou à la surfa e.

Nettoyerle puits etrefroidir l'outil de forage.

Contrler les pressions de uides interstitielles des formations traversées pour

éviter les éruptions.

Assurer la stabilitémé anique des parois du puits en ours du forage.

Remonter,sousformedepulsedepression,lesmesures dessystèmesMWD

(Mea-surement While Drilling)etLWD (LoggingWhile Drilling).

Il existe prin ipalement deux types de boue : lesboues à base d'eau etles boues à

based'huiledanslesquellesdesadditifspeuventêtreajoutés[37℄:produitsvis osiants,

produits rédu teurs de ltrat pour réduire les pertes de boue dans la formation,

élé-mentsalourdissant(Baryte,Hématite,Sidérite,Carbonate deCal ium)pour ontrler

(22)

Lesparamètres du forage peuvent êtres lassés en deux groupes [37℄ :

Les paramètres mé aniques :

 Vitesse d'avan ement ou ROP (Rate Of Penetration) : ette grandeur est

l'indi ateur de la performan e du système de forage (typiquement 10-15

m/h).

 VitessederotationouRPM(RevolutionsPer Minute):ils'agitdelavitesse

de rotation imposée à la garniture en surfa e. Elle varie généralement de

60 à 300 tr/min. La vitesse de l'outil de forage peut atteindre des valeurs

beau oup plus élevées si un moteur ou une turbine est pla é au-dessus de

l'outil de forage (jusqu'à 1000 tr/min).

 Poids sur l'outil ou WOB (Weight On Bit) : il s'agit de l'eort appliqué

sur l'outil selon la dire tion de son axe de révolution. Dans une première

approximation, 'est lepoids déjaugéde lagarniturede forage danslepuits

diminuéde latensionappliquéeau ro heten surfa e.Cette mesurepermet

de mieux ontrlerlefon tionnementdel'outilde forage. Elleest régléepar

le foreur en surfa e en retenant plus ou moins la garniture de forage. Le

WOB est généralement de 50 à 100 kN selon l'outil de forage utilisé et la

ro he traversée.

 Couple TOB (Torque On Bit) : 'est le moment né essaire pour maintenir

la rotationdes tiges. Il est typiquement de l'ordrede 100-500 daN.m.

Les paramètres hydrauliques :

 Composition de laboue : le hoix de la boue se fait en fon tion des

ondi-tions du forage. Lesboues àbase d'huile sontplus e a es que lesboues à

based'eau danslesformationsargileuses sus eptiblesde goneren présen e

d'eau. Elles ausent le minimum de dommage aux formations produ tri es

ave un minimum de perte. Elles assurent également des onditions de

fo-rage optimalesen réduisant lesfrottementsde lagarniture sur lesparoisdu

puits eten augmentant laduréede viede l'outil. La ompositiondes boues

à base d'huileest soumise àdes réglementationslégislativespré ises.

 Paramètres mé aniques de la boue : le foreur règle la pression du uide

inje té pour vain reles pertes de harge lelong du ir uitde ir ulation de

la boue de forage (tiges, masses-tiges, outil, espa e annulaire). Le débit est

xéen prioritépourassurerun nettoyage optimaldes déblaisdero he réés

par l'outil. Il est mesuré en temps réel pour déte ter toute perte ou venue

de uide dans le ir uitde laboue.

1.2.5 Les vibrations en forage pétrolier

Au oursduforage,lagarnitureesttoujourssoumiseàdesvibrationsdontl'intensité

et la fréquen e dépendent des paramètres géométriques et opératoires du forage, de

l'outilutiliséetdesformationsro heusestraversées.Cesvibrations,quipeuventinduire

des ho s parfois violents entre l'outil et lefond du trou d'une part, etla garniture et

les parois du puits d'autre part, ont des eets nuisibles sur l'intégrité de la stru ture

et du système éle tronique embarqué, sur les performan es du forage ainsi que sur la

(23)

lorsque les outils de forage tri nestraversent des ro hes dures. Dans leur forme

la plus extrême, l'outilpeut subir des dépla ements verti aux périodiques allant

jusqu'à la perte de onta t omplet de l'outil ave le fond du trou (bit-boun e).

La fréquen e ara téristique de es vibrations est de l'ordrede 1à 10Hz.

2. Lesvibrationslatérales:ellesprennent pla edufait del'existen e d'un jeuentre

la garniture et les parois du puits. Elles sont très importantes dans la partie

bassede lagarniturede forage(laBHA:Bottom HoleAssembly).Ces vibrations

s'a ompagnentsouventd'un onta tpermanentdestigesave lesparoisdupuits.

Ellespeuventégalement onduireauphénomèneredoutéde pré essiondelaBHA

(whirling). Dans e as, les masses-tiges subissent un mouvement de pré ession

autour de l'axe du puits. Typiquement, la fréquen e des vibrations latérales est

de l'ordre de 0.5 à 10 Hz. Si elles s'a ompagnent du phénomène de pré ession,

ette fréquen e peut aller jusqu'àplusieurs entaines de Hz.

3. Les vibrations de torsion : elles se manifestent souvent à basse fréquen e,

typi-quement entre 0.05 et0.5Hz.Ces os illationspeuvent engendrerdes alternan es

auto-entretenues d'adhéren e et de glissementde l'outil onnudans lemonde de

tribologie sous le nom de  sti k-slip . Comme les autres modes de vibration,

les vibrations de torsion réduisent les performan es de forage et augmentent la

fatigue des tiges etl'usure de l'outil de forage.

Lephénomènede sti k-slipae te prin ipalementlesoutilsPDC maisilpeut aussi

apparaître dans le as des outils tri nes [50℄. Il est à l'origine de la hute de leurs

performan esenforageslongs,surtoutlorsque eux- isontréalisésdansdesformations

dures. Trois remèdes peuvent être pré onisés pour lutter ontre lesti k-slip :

 réduire lepoids sur l'outil an de diminuer son engagement dans la formation;

 augmenter lavitesse de rotationpour empê her leblo age de l'outil;

 diminuer lefrottement en jouantsur leuide de forage.

Ces solutions peuvent réduire les performan es du forage et ae tent la vitesse

d'avan ementetlaqualitédesparoisdupuits.Eneet, ladiminutiondu poidsàl'outil

est de nature à engendrer une hute drastique de la vitesse d'avan ement.

L'augmen-tation de lavitesse de rotationrisque de faireentrer la garniture etl'outil en mode de

whirl qui est parti ulièrementnéfaste.

Plusieurs travaux de re her he onduits au Centre de Géos ien es de Mines

Pa-risTe h démontrent que la on eption de l'outil de forage joue un rle majeur dans

l'o urren e des vibrations, en parti ulier elles de sti k-slip pour lequel il n'existe

pas en oreaujourd'hui de solutionspratiques a eptables [42℄. L'obje tif àlong terme

de es études est de prédimensionner une nouvelle génération d'outils PDC que l'on

peut qualier d'anti-sti k-slip. Cette optimisation est basée sur de nouveaux ritères

de on eptiondesoutilspermettantde hoisirleprol,laformeetles héma

d'implan-tation des taillantsPDC[1℄. Nousprésentons dans lasuite quelques études théoriques

(24)

1.3.1 Phénomène du sti k-slip

Le sti k-slipest une formede vibration de torsion auto-entretenue durant laquelle

l'outil de forage subit des y les de blo age qui s'a ompagnent d'une a umulation

d'énergie élastique de torsion dans la garniture. Cette énergie se libère soudainement

sous forme d'énergie inétique en ausant la rotation de l'outil de forage à de hautes

vitesses.Lagure1.3montreun exempledemesurede sti k-slip(ave desinstruments

montés juste au-dessus de l'outil). Ces mesures sont réalisées à 50 Hz. La vitesse de

l'outilsubit des variationspériodiques de blo age etde déblo age. Pendant les phases

de déblo age, la vitesse de rotation de l'outil atteint 230 tr/min pour une vitesse

im-posée en surfa e de 92tr/min seulement.

Figure 1.3Mesuresde lavitessede rotationde l'outil [17 ℄

Lesti kslips'a ompagne systématiquementd'unedé roissan edu oupleàl'outil

enfon tionde savitesse derotationpourun poids surl'outil onstant.Lagure1.4(a)

montre un exemple de e phénomène. Cette dé roissan e a été observée pendant des

essais en laboratoire sans présen e de sti k-slip omme l'illustrent lesgures 1.4(b) et

1.4( ). Elle est asso iée à une diminution de l'avan ement par tour de l'outil ave la

vitesse de rotation.Selon nombreux auteurs, ette baisse de performan e est due à la

(25)

( ) Mesuresenlaboratoire[42℄

(26)

Le sti k-slip peut avoir deux origines :

1. Lesti k-slipdelaBHAquiseproduitpotentiellementdanslespuitshorizontaux;

2. Lesti k-slipde l'outil quise manifeste prin ipalementdans lespuits verti aux.

Nous nous intéressons parti ulièrement au sti k-slip de l'outil de forage que nous

onsidérons en lien ave la nature de l'intera tion outil-ro he. Plusieurs groupes de

re her he se sont pen hés sur ette question an de omprendre l'eet de l'intera tion

outil-ro he sur l'o urren e du sti k-slip [5,10, 16, 25, 26,27, 30, 34,41, 42, 48℄. Une

modélisationréalistedesvibrationsdesti k-slipdevraitfaireapparaîtredesparamètres

d'optimisationqui peuvent ontrlerl'o urren eetl'intensitédu sti k-slipàpartirde

la on eption de l'outil de forage. Le sti k-slip peut être étudié prin ipalement selon

deux appro hes :

Appro he en torsion-pure;

Appro he en mode oupléaxial-torsion.

Nous présentons dans la suite une analyse bibliographique des deux appro hes en

montrant leurs hypothèses prin ipales etleurs pointsde divergen e.

1.3.2.1 Appro he en torsion-pure

Modèle de Jansen (1993) [26℄

Dansl'appro hetorsion-pure,lesvibrationsdetorsionsontdé oupléesdesautresmodes

d'os illations, à savoir les vibrations axiales et les vibrations latérales. La loi

d'inter-a tion outil-ro he est une donnée dans ette méthode. [26℄ fut parmi les premiers à

développer e type d'appro he.

L'intégralitéde lagarniturede forageest réduiteàun systèmeéquivalentde

masse-ressort-amortisseur (gure 1.5). En eet, les vibrationsde torsion se manifestent

sou-vent dans lepremiermode propre de lagarniture de forage [26,30℄.L'inertiedes tiges

et de la BHA est on entrée au niveau de l'outil. Les tiges se omportent omme un

ressort de torsion de raideur

R

. Le uide de forage joue le rle d'un amortissement

visqueux dont le oe ient

c

v

est une donnée. La ro he exer e sur l'outil un ouple

résistant Tqui dépend de la vitesse de rotation etdu poids sur l'outil.

La vitesse de rotation de l'outil

ω

se dé ompose en une omposante permanente

de valeur

ω

0

, qui orrespond à la vitesse de rotationimposée en surfa e, et une

om-posantetransitoire due à lasuperposition des vibrationsde torsion.Cette appro he a

été adoptée par de nombreux auteurs[5, 16,25, 26, 34, 41,42℄ ar elle est apable de

modéliserles vibrationsmono-fréquentielles du sti k-slip.

Les vibrations de torsion obéissent à une équation diérentielle du se ond ordre

dont la formeest la suivante:

J ¨

Φ + c

v

˙Φ = −R (Φ − ω

0

t) −

T (1.1)

Ave :

(27)

J

: l'inertiedu système

c

v

: l'amortissementvisqueux

R

:la rigiditéen torsionde lagarniture

Φ

et T sont des fon tions du temps

t

et on note

˙Φ =

dt

et

φ =

¨

d ˙

Φ

dt

. Le terme

−R (Φ − ω

0

t)

représente le ouple élastique dû à la déformation de torsion des tiges.

La quantité

ω = ˙Φ

est la vitesse de rotation de l'outil.

T

ω

0

t

ω

0

R

ω

c

v

J

Φ

Figure 1.5 Représentation d'unmodèle entorsion-pure [26℄

Modélisation de l'intera tion outil-ro he

S'appuyant sur des données expérimentales, omme elles que nous avons présentées

dansleparagraphe1.3.1, ertainsauteursmodélisentlarelationentrele oupleàl'outil

né essaire au forage et sa vitesse de rotation. Dans l'appro he en torsion-pure, ette

relation peut être vue omme une ara téristique intrinsèque de l'intera tion

outil-ro he. Par exemple, [26℄ modélise ette ara téristique par une loi de frottement de

type Coulomb(gure 1.6(a)) déniepar :

T

=

T

d

sgn

(ω)

si

ω 6= 0

|

T

| <

T

s

pour

ω = 0

(1.2)

Les paramètres onstants T

s

T

d

représentent le ouple dû au frottement en

statiqueT

s

etendynamiqueT

d

.D'autresauteursontfaitappelàdesloisdefrottement

issues du domaine de la tribologie (gure 1.6(b))pour tenir ompte de laprésen e de

lubriantsetdelanaturedesmatériauxenintera tion[42,45,46,58℄.Certainsauteurs

quiadoptent emodèlelejustientpluttpardes raisonsnumériques:ils'agitd'éviter

(28)

T

ω

T

s

-T

s

T

d

-T

d

(a) LoidefrottementdeCoulomb[26℄ (b) Loidefrottementthéoriquede[58℄

Figure 1.6  Modélisation du ouple de frottement à l'outil en fon tion de sa vitesse de

rotation

Dis ussion

Denombreux auteursont observé une diminutiondu oupleà l'outilen fon tion de sa

vitessederotationpendantlesti k-slip.Nous itonsparexemplelesmesuresen

labora-toirede[5,25, 42℄etlesmesures sur hantierde [16,34,41℄.Ces auteurspostulentque

la dé roissan e du ouple en fon tion de la vitesse de rotation est une ara téristique

intrinsèque qui dépend de l'outil et de la ro he. Pour ette raison, on trouve dans la

littératurel'appro heen torsion-purequi onsidèrequelaloi ouple-vitessederotation

est onnue a priori.

Selon les défenseurs de l'appro he en torsion-pure [5, 16, 25, 26, 34, 41, 42℄, la

dé roissan e du ouple à l'outil en fon tion de la vitesse de rotation est la sour e de

l'o urren e du sti k-slip. D'autres spé ialistes omme [22, 30, 48℄ supposent que la

dé roissan e du ouple en fon tion de sa vitesse de rotation n'est observé que lors du

sti k-slipet elleest don une onséquen e de e phénomène. Ces auteurs utilisent un

modèle de vibration qui in lut les vibrations de torsion et les vibrations axiales an

d'expliquer et de reproduire le phénomène de sti k-slip. Nous verrons e modèle en

détailsdans le paragraphesuivant.

1.3.2.2 Appro he ouplée axial-torsion

La gure 1.7 présente un s héma de prin ipe du modèle axial-torsion de [47℄. Ce

modèle représente la garniture par un système équivalent masse-ressortà deux degrés

de liberté : le mouvement axial de l'outil et son dépla ement angulaire. Les tiges se

omportent ommeunressortde torsionde raideur

R

.Lesystème estaniméensurfa e

d'unevitesse de onsigne

ω

0

etaxialementsuivantunmouvementde orpsrigided'une

quantité

U

sous l'eet du poids

H

s

− H

0

W ave

H

s

le poids de la garniture et

H

0

le poids retenu (au ro het) et W

=

WOB le poids sur l'outil. Le moment d'inertie

J

et lamasse de la BHA

M

sont on entrés au niveau des masses-tiges. L'intera tion

(29)

T

ω

0

t

ω

0

R

ω

J, M

Φ

W

H

0

U(t)

Figure 1.7 Représentation d'un modèle ouplé axial-torsion[47 ℄

Leséquations de mouvements'é rivent :

J ¨

Φ = −R (Φ − ω

0

t) −

T

M ¨

U = H

s

− H

0

W

(1.3)

Modélisation de l'intera tion outil-ro he

L'auteur simplie la stru ture de oupe en onsidérant un outil à

n

lames

unifor-mémentespa ées d'un angle

n

.Chaque lame présente un méplatd'usure de longueur

l

n

etest engagée dans la ro he àune même profondeur de passe notée

h

n

(t)

.

L'auteurs'inspiredes travauxde [13℄pour al ulerleseorts d'intera tion en

fon -tion de l'énergie spé iquede oupe

ǫ

, dénie ommel'énergie né essaire pour enlever

un volume unitairede ro he, etde la ontrainte normalesur le méplat d'usure

σ

:

T

=

a

2

2

(ǫh + γµlσ)

W

= a(ζǫh + lσ)

(1.4) Ave :

a

: le rayon de l'outil

l = nl

n

:la longueur du méplat d'usure

h = nh

n

: laprofondeur de passe équivalente

µ

:le oe ient de frottement sous le méplatd'usure

ζ

: le oe ientde frottemententre lafa e d'attaquedu PDC etla ro he

γ

: un paramètre qui dépend de l'outil de forage

Il est important de noter que le ouple à l'outil T et le poids sur l'outil W sont

ouplés par l'intermédiaire de la ontrainte

σ

etde laprofondeur de passe

h

.

Lesvariablesdynamiquessontensuite al ulées numériquementà haqueinstant

t

n

(30)

U(t) − U(t − t

n

) = h

n

(t)

Φ(t) − Φ(t − t

n

) =

n

(1.5) Dis ussion

L'appro he ouplée axial-torsion telle qu'elle est proposée par [48℄ présente plusieurs

points forts.La prise en ompte de l'intera tion outil-ro he est assurée ave un al ul

instantanédeseortsde oupe.Unegénéralisationde emodèleaété proposéepar[22℄

enutilisantun modèlestru ture- ontinuedansle asparti ulierd'unpuitsverti al.Les

dépla ements(

U, φ

)sont fon tionsdu tempset de l'abs isse

x

.

Lemodèlede[48℄permetdereproduirelesvibrationsdusti k-slip.L'auteurmontre

que pendant es vibrations, laprofondeur de passe équivalentede l'outil baisse en

in-duisantunerédu tiondu oupleàl'outil.Dans ertains as,l'outilpeutquitterlaro he

et se met à vibrer en mode axial (bit-boun e). [48℄ montre que la hute du ouple à

l'outilen fon tion de lavitesse est auséepar lesvibrations auto-entretenues du

sti k-slip. Cette idée est d'ailleurs utilisée pour expliquer les vibrations auto-entretenues

dans le domaine de la oupe des métaux. Par exemple, [56℄ explique les vibrations

auto-entretenues qui apparaissent pendant l'usinage des métaux par l'existen e d'un

mé anisme de ouplage entre deux modes propresde l'outil.Selon l'auteur, es

vibra-tions ouplées engendrent un mouvement relatif elliptique entre la piè e et l'outil, e

qui ause la variation de l'épaisseur des opeaux et don la variation des eorts de

oupe.

[22, 48℄ négligent l'amortissementvisqueux qui aun impa t très importantsur les

régimes de fon tionnement, notamment les vibrations de torsion [26, 42℄. Il est aussi

probablequelephénomènedebit-boun e oupléausti k-slip[48℄soitfortementae té

par l'amortissementvisqueux.

[30℄développeunmodèle oupléaxial-torsionbasésurlestravauxde[48℄ quiin lut

l'amortissement visqueux. Les simulations numériques de e modèle montrent que les

frottements visqueux jouent un rle stabilisant, e qui est en onformité ave [26,

42℄. [30℄ montre que le sti k-slip n'est pas dû aux vibrations axiales mais plutt aux

eorts d'intera tion outil-ro he. Cette étude s'appuie sur des essais expérimentaux en

laboratoireà profondeur de passe etvitesse de rotationimposées [31℄. Ces essais sont

réalisés ave un ressort de torsion axialement rigide (pas de vibrations axiales). Les

observations montrent que le sti k-slip se manifeste en absen e des vibrations axiales

ave des variations très importantes du poids et du ouple à l'outil. En l'absen e du

sti k-slip,lepoids etle oupleà l'outil sontstables.

1.3.3 Synthèse

Lamodélisationdes eortsde forage(T,W)dière entrel'appro heen torsion-pure

etl'appro he oupléeaxial-torsion.Dansl'appro he oupléeaxial-torsion,leseortsde

foragesontdesin onnues duproblèmequidépendentdelapositionangulairede l'outil

et de son dépla ement axial [22, 30, 48℄. L'o urren e du sti k-slip est expliquée par

(31)

Dansl'appro he en torsion-pure, laloi d'intera tion outil-ro he est une donnée du

problème [26℄. Le sti k-slip est alors expliqué par l'existen e d'un mé anisme de

frot-tementradou issantentre le oupleàl'outiletsavitesse de rotationàpoids sur l'outil

onstant. Ce i signieque la résistan e de laro he auforage augmenteave lavitesse

de rotation de l'outil [42℄. La loi d'intera tion outil-ro he est déterminée à partir des

essais sur hantier [25℄ ou en laboratoire[42℄.

Il existe des études expérimentales qui onrment la dépendan e des eorts de

forage par rapport à la vitesse, à la fois à l'é helle de l'outil omme à l'é helle des

taillants[5,25,29,41, 42℄.Lesessais en laboratoireàl'é helle d'unoutil [31℄montrent

que le sti k-slip se produit en absen e de vibrations axiales, de sorte que de

nom-breux auteurs suggèrent qu'une loi outil-ro he dé roissante sut à expliquer le

sti k-slip [5, 16, 25, 26, 29, 34, 41, 42℄. Nous avons suivi l'appro he en torsion-pure pour

onstruire un modèle de vibration, e idans lebut d'étudier l'inuen edes

ara téris-tiques de la loid'intera tion outil-ro he sur l'o urren e du sti k-slip.

1.4 Rle de la loi outil-ro he dans le sti k-slip

1.4.1 Introdu tion

Dans ette se tion, onprésente une étude de sensibilité entrée sur le rle de la loi

outil-ro he dans l'o urren e du sti k-slip. On a hoisi l'appro he en torsion-pure qui

est justiée par de nombreuses observationsin-situ eten laboratoire.Onse pla edans

le as d'un forage verti al ne présentant pas de points de onta t entre les tiges et le

puits. La dé roissan e du ouple à l'outil est modélisée par une loi de frottement de

type Coulombsimpliée ommel'illustrela gure 1.8. Cette lois'é rit :

T

=

T

d

sgn

(ω) + aω

si

ω 6= 0

|

T

| ≤

T

s

pour

ω = 0

(1.6)

Cetteloiest ara tériséeparun ouplestatiqueT

s

etun oupledynamiqueT

d

ainsi

qu'un paramètre

a ≤ 0

de sorte quele ouplesoit une fon tion dé roissante de

ω

.

T

ω

T

s

-T

s

T

d

-T

d

a

(32)

Sa hant queleterme

n'existe quedurant lesphasesoù

ω

est non nulle, onpeut

se ramener au as ave

a = 0

, et e en remplaçant

c

v

par

c

v

+ a

dans l'équation 1.1.

Don , onpeut é rire leproblème sous laforme:

In onnue

Φ(t)

: pour

t ≥ 0

et telle que

Φ(0) = 0

et

ω(0) = ˙Φ(0) = 0

Donnée :

ω

0

> 0

,

J > 0

,

R > 0

,

c = c

v

+ a ∈ R

et

0 ≤

T

d

T

s

Équation:

J ¨

Φ + c ˙Φ = −R (Φ − ω

0

t) −

T

T

=

T

d

sgn

(w)

pour

ω 6= 0

et

|

T

| ≤

T

s

pour

ω = 0

Andesimplierleproblème,nousé rivonsl'équationdumouvementsoussaforme

normalisée.Pour e faire,onintroduitlesvariablesadimensionnellessuivantes:

ˆt = tf

0

,

ξ =

c

2f

0

J

,

Φ =

ˆ

f

0

ω

0

Φ

,

ω =

ˆ

1

ω

0

ω

etT

ˆ

=

f

0

ω

1

0

J

Tave

f

0

=

q

R

J

désignelapulsationpropre

du système. On a alors :

¨ˆΦ + 2ξ ˙ˆΦ + ˆΦ = ˆt− ˆ

T

(1.7)

1.4.3 Solution du problème

Deuxsolutionssont possiblesselonla ongurationdu système(annexeA).Si

ω

ˆ

ne

s'annuleplus àpartir de

ˆt = ˆ

T

s

=

f

0

ω

1

0

J

T

s

, alors le problème de sti k-slip ne se

repro-duit pas et le système subit un régime de vibrations transitoires avant d'atteindre le

régimepermanentoùlavitessedel'outilestégaleàlavitessede onsigne(gure1.9(a)).

Si

ω

ˆ

s'annuleune seulefoisàpartirde

ˆt = ˆ

T

s

,alorslesystèmeentre dansunrégime

de vibrationsauto-entretenues de blo age/déblo age (gure1.9(b)).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

2

4

6

8

10

Vitesse de rotation (tr/min)

t

(s)

Vitesse imposée

ω

0

ω

(

t

)

(a) Solutiondetype1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0

1

2

3

4

5

6

ω

(tr/min)

t

(s)

Vitesse imposée

ω

0

ω

(

t

)

(b) Solutiondetype2

(33)

L'undesremèdes lassiquesdusti k-slipestl'augmentationdelavitessederotation

en surfa e

ω

0

. L'e a ité de ette solutionpour atténuer lesvibrations du sti k-slip a

été prouvée expérimentalement [16℄ et analytiquement [26℄. Nous avons her hé à

re-produire ephénomène ave lemodèleprésenté plushaut. Lagure1.10 illustrel'eet

de lavitesse ensurfa e sur l'o urren edu sti k-slippourlejeu deparamètre suivant:

J = 150

N.m.s/rad,

R = 400

N.m/rad,

ξ = 10

4

, T

s

= 4000 N.m, T

d

=3000 N.m et

a = 0

.

0

50

100

150

200

250

300

0

50

100

150

200

250

300

Amplitude de la vitesse de l’outil (tr/min)

Vitesse imposée en surface

ω

0

(tr/min)

Stick−slip

Pas de stick−slip

Vitesse−seuil

Figure 1.10Eet delavitesseimposéeen surfa esurl'amplitude delavitessederotation

de l'outil (la ourbebleue représente lavitesse

ω

0

imposéeen surfa e)

En ommençant ave une vitesse de onsigne

ω

0

= 5

tr/min, ona une solution de

type2.L'amplitudedelavitesse del'outilestde39tr/minave un fa teur

d'ampli a-tion

r =

ω

max

ω

0

≃ 8

.Enaugmentantlavitesse du moteur,lapériodede blo agediminue

en faveur de la période de glissement. Pendant ette phase, le fa teur d'ampli ation

r

dé roît jusqu'à une vitesse-seuil (90 tr/min) où il devient égal à 1 et le sti k-slip

disparaît (solution de type 1). La vitesse-seuil marque la n du domainedu sti k-slip

etle débutd'undomaineque l'on peutqualier de stableoùle sti k-slip n'existeplus.

Avant d'atteindre le seuil de vitesse, l'amplitude des vibrations peut atteindre des

valeurs quipeuvent endommagerla garniture de forage. Ce résultatmontre que le

re-mède lassique ontre le sti k-slip qui onsisteà augmenter lavitesse de rotationn'est

pas toujourslabonnesolution.Unforeur pourraitparfoispréférerforerave un peu de

sti k-slip de faible intensité plutt que de her her à s'en débarrasser en passant par

des phases oùl'intégritéde lagarniture est mise en péril.Notons en outre

qu'augmen-ter la vitesse de rotation de onsigne peut parfois induire d'autres modes vibratoires

indésirables, omme le whirling. Ainsi, pour se débarrasser du sti k-slip,il onvient à

la fois de jouersur lavitesse de rotation,mais aussi sur lepoids sur l'outil.

Une approximation analytique de la vitesse-seuil peut être obtenue en s'inspirant

des résultatsde [26℄ :

ω

seuil

=

 √πξ − ξ

πξ − ξ

2



T

s

T

d

R

(1.8)

(34)

T

s

etT

d

et e, en réduisant le poids sur l'outil.

1.4.5 Étude de sensibilité de l'eet de la loi d'intera tion

outil-ro he

La gure 1.11(a) montre l'évolution de la vitesse-seuil, al ulée numériquement à

partir du modèle présenté dans le paragraphe pré édent, en fon tion du oe ient

a

pour le jeu de paramètre suivant :

J = 1000

N.m.s/rad,

R = 300

N.m/rad,

c

v

= 3, 3

N.s.m/rad, T

s

= 4000 N.m et T

d

= 2500 N.m. On onstate que la vitesse-seuil est

sensible à

a

. En eet, lorsque le système est en mode déblo age, le ouple à l'outil

dé roîtlinéairementave la vitesse àl'outil, e qui rajouteune omposante

qui

ré-duitla valeur des frottementsvisqueux si

a

est négatif. La diminution des frottements

visqueuxentrelagarnitureetleuidedeforageréduitla apa itédusystèmeàamortir

lesvibrationsde torsion et ause l'o urren e du sti k-slip.

Lorsque la valeur de la dis ontinuité T

s

T

d

est onstante, l'eet de la variation

de T

s

ou de T

d

, qui orrespond à une translation selon l'axe des ordonnées, est

om-plètement absent. En revan he, lorsque T

s

T

d

augmente, la vitesse-seuil augmente

linéairement ommelemontrent lagure 1.11(b)et l'équation1.8.

Sion onsidèrequelesparamètresdé rivantlaloiT

= f (ω)

sontdes ara téristiques

de l'outil de forage, les résultats suggèrent que le rle de la on eption de e dernier

est très important dans l'o urren e du sti k-slip. Il reste alors à montrer que es

paramètresont un lienave la naturede l'outil utiliséetla ro he forée. Ce i onstitue

l'objet prin ipalde ette thèse.

130

140

150

160

170

180

190

−1

−0.5

0

0.5

1

ω

seuil

(tr/min)

a

(N.m.s/rad)

(a)Eetdelapente

a

pourT

s

T

d

=1500

N.m

0

50

100

150

200

250

300

350

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

ω

seuil

(tr/min)

T

s

−T

d

(N.m)

(b) EetdeT

s

T

d

pour

a = 0

Figure 1.11 Eet dela loid'intera tion outil-ro he surlesti kslip

1.4.6 Synthèse

Dans e hapitre, nous avons présenté les diérentes appro hes utilisées pour

mo-déliserladynamiqueen torsiondes garnituresde forage.On trouve d'abord l'appro he

en torsion-purequipermetde reproduirele phénomènede sti k-slipave des lois

d'in-tera tion outil-ro he imposées et onnues a priori. On trouve également l'appro he

Figure

Figure 1.1  S
héma de prin
ipe d'une installation de forage rotary

Figure 1.1

 S héma de prin ipe d'une installation de forage rotary p.20
Figure 1.4  Couple à l'outil en fon
tion de la vitesse de rotation à diérents poids à l'outil

Figure 1.4

 Couple à l'outil en fon tion de la vitesse de rotation à diérents poids à l'outil p.25
Figure 1.6  Modélisation du 
ouple de frottement à l'outil en fon
tion de sa vitesse de

Figure 1.6

 Modélisation du ouple de frottement à l'outil en fon tion de sa vitesse de p.28
Figure 1.11  Eet de la loi d'intera
tion outil-ro
he sur le sti
k slip

Figure 1.11

 Eet de la loi d'intera tion outil-ro he sur le sti k slip p.34
Figure 2.2  Variations des eorts de forage ave
 la vitesse de 
oupe dans quatre ro
hes à

Figure 2.2

 Variations des eorts de forage ave la vitesse de oupe dans quatre ro hes à p.40
Figure 2.7  Eorts de 
oupe en fon
tion de la vitesse dans deux sols de perméabilités

Figure 2.7

 Eorts de oupe en fon tion de la vitesse dans deux sols de perméabilités p.43
Figure 2.12  Évolution du degré de saturation en fon
tion du temps dans le grès des Vosges

Figure 2.12

 Évolution du degré de saturation en fon tion du temps dans le grès des Vosges p.53
Figure 2.16  Évolution de l'eort normal et de la se
tion de 
oupe (à partir du moment de

Figure 2.16

 Évolution de l'eort normal et de la se tion de oupe (à partir du moment de p.56
Figure 2.18  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure 2.18

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.57
Figure 2.17  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure 2.17

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.57
Figure 2.19  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure 2.19

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.58
Figure 2.20  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure 2.20

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.58
Figure 2.21  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure 2.21

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.59
Figure 2.22  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure 2.22

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.60
Figure 2.24  Genèse de 
opeaux lors des essais dans le grès des Vosges, p b = 20 MPa, h = 1

Figure 2.24

 Genèse de opeaux lors des essais dans le grès des Vosges, p b = 20 MPa, h = 1 p.61
Figure 3.8  Eorts de 
oupe en fon
tion de la vitesse dans deux sols de perméabilités

Figure 3.8

 Eorts de oupe en fon tion de la vitesse dans deux sols de perméabilités p.85
Figure 3.12  Variation de l'énergie spé
ique de 
oupe en psi (1 psi = 0.00689 MPa) ave

Figure 3.12

 Variation de l'énergie spé ique de oupe en psi (1 psi = 0.00689 MPa) ave p.90
Figure 3.11  Conditions aux limites et 
onditions initiales du modèle de [6 ℄. BC (Boundary

Figure 3.11

 Conditions aux limites et onditions initiales du modèle de [6 ℄. BC (Boundary p.90
Tableau 4.2  Synthèse des équations de base à résoudre pour le problème de 
oupe

Tableau 4.2

 Synthèse des équations de base à résoudre pour le problème de oupe p.100
Figure 4.8  Variation de la pression de pore normalisée pour λ = 1 et α = 22.5

Figure 4.8

 Variation de la pression de pore normalisée pour λ = 1 et α = 22.5 p.107
Figure 4.9  V ariation de la dépression |¯ p − p 0 | normalisée ave
 λ pour diérentes valeurs de

Figure 4.9

 V ariation de la dépression |¯ p − p 0 | normalisée ave λ pour diérentes valeurs de p.108
Figure 4.14  Résultats des simulations numériques fortement 
ouplées : variations de la

Figure 4.14

 Résultats des simulations numériques fortement ouplées : variations de la p.118
Figure 4.16  Variations en fon
tion de λ =

Figure 4.16

 Variations en fon tion de λ = p.120
Figure 4.20  Diagramme (E,S) des essais élémentaires de 
oupe dans le grès des V osges sous

Figure 4.20

 Diagramme (E,S) des essais élémentaires de oupe dans le grès des V osges sous p.125
Figure 4.25  Comparaison entre les modèles numériques, le modèle analytique et les mesures

Figure 4.25

 Comparaison entre les modèles numériques, le modèle analytique et les mesures p.128
Figure 4.26  Pression de pore moyenne sur le 
opeau p ¯ pour une pression de pore initiale

Figure 4.26

 Pression de pore moyenne sur le opeau p ¯ pour une pression de pore initiale p.129
Figure B.4  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure B.4

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.140
Figure B.3  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure B.3

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.140
Figure B.5  Évolution des eorts de 
oupe en fon
tion de la position verti
ale du taillant

Figure B.5

 Évolution des eorts de oupe en fon tion de la position verti ale du taillant p.141
Figure B.6  Évolution de l'eort normal en fon
tion de la position verti
ale du taillant pour

Figure B.6

 Évolution de l'eort normal en fon tion de la position verti ale du taillant pour p.141

Références

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