Films Courbés Minces Ferromagnétiques

Texte intégral

(1)

Films courb´es minces ferromagn´etiques

Hamdi Zorgati

a,b

aLaboratoire Jacques-Louis Lions, Universit´e Pierre et Marie Curie, boˆıte courrier 187, 75252 Paris Cedex 05, France. bCEREMADE, CNRS UMR 7534, Universit´e Paris-Dauphine, Place du Mar´echal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris,

France

Abstract

Curved ferromagnetic thin films. We consider a thin curved ferromagnetic film not submitted to an external magnetic field. The behavior of the film is described by an energy depending on the magnetization verifying the saturation constraint. The energy is composed of an induced magnetostatic energy and an energy term with density including the exchange energy and the anisotropic energy. We study the behavior of this energy when the thickness of the curved film goes to zero. We show with Γ-convergence arguments that the minimizers of the free energy converge to the minimizers of a local energy depending on a two-dimensional magnetization. To cite this article: H. Zorgati, C. R. Acad. Sci. Paris (2004).

R´esum´e

On consid`ere un film courb´e mince ferromagn´etique non soumis `a un champ magn´etique externe. Le comportement du film est d´ecrit par une ´energie d´ependant de la magn´etisation du film v´erifiant la contrainte de saturation. Cette ´

energie se compose d’une partie d’´energie magn´etostatique induite et d’un terme d’´energie ayant comme densit´e une fonction , comprenant l’´energie d’´echange et l’´energie anisotrope. Nous ´etudions le comportement de cette ´

energie quand l’´epaisseur du film courb´e tend vers z´ero. Nous prouvons avec des arguments de Γ-convergence que les minimiseurs de l’´energie totale convergent vers les minimiseurs d’une ´energie locale d´ependant d’une magn´etisation bidimensionnelle. Pour citer cet article : H. Zorgati, C. R. Acad. Sci. Paris (2004).

Abridged English version

We consider a thin curved ferromagnetic film (see [1] [2] [3] [8] [9] [10]) occupying an open domain eΩh

of the form e Ωh=x ∈ R3, ∃x ∈ ee S, x =x + η ae 3 ψ −1( e x) with −h 2 < η < h 2 , (1)

(2)

where eS is the curved midsurface of the film, a3 ψ−1(ex) is the unit vector normal toS at pointe ex, and h is the thickness of the film.

The behavior of the thin film in the absence of an external magnetic field is described by an energyeeh depending on its magnetizationmeh. The energy is composed of the induced magnetostatic energy and an

energy term with density W including the exchange energy and the anisotropic energy

e eh(meh) = 1 h Z e Ωh h W (meh, ∇meh) + 1 2∇ueh.meh i dex, (2)

under the saturation constraint

|meh| = 1 in eΩh, (3)

where W is a continuous function verifying some coercivity and growth assumptions andeuh: R3→ R is

a scalar potential for the induced magnetic field Hh= −∇euh verifying the magnetostatic equation

div(−∇ueh+meh) = 0 in R3. (4)

In order to study the behavior of the thin film when its thickness h goes to zero, we begin by rescaling the energy in order to work on a domain independent of the thickness h. Then, we study the behavior of the induced magnetostatic energy. Next, we use Γ-convergence arguments (see [5][6][7][11][12]) to study the behavior of almost minimizers of the free energy when the thickness of the film goes to zero. We prove that diagonal minimizing sequences are bounded in V (see (23)) and that their limit points belong to VM

(see (24)) and minimize the local limit energy depending on the two dimensional magnetization m e(0)(m) = Z ω n Q2,3T W0 x, m(x), (m,1|m,2) + |(a3(x), m)|2 o d0dx. (5)

where Q2,3T denotes the tangential quasiconvex envelope (see Definition 2.1).

1. Pr´eliminaires

On consid`ere un film ferromagn´etique courb´e mince d’´epaisseur h (voir [1] [2] [3] [8] [9] [10]), occupant un domaine eΩh de la forme e Ωh=x ∈ R3, ∃x ∈ ee S, x =x + η ae 3 ψ−1(ex) avec −h 2 < η < h 2 , (6)

o`u eS est la surface moyenne de eΩh, qui est une sous-vari´et´e bidimensionnelle de classe C1 de R3

admet-tant un atlas comporadmet-tant une seule carte ψ. Cette carte est un C1-diff´eomorphisme. Elle envoie un ouvert

born´e ω inclus dans R2 de fronti`ere lipschitzienne dans eS, a

3(ψ−1(ex)) est le vecteur normal `a eS au point e

x. Le vecteur a3 est le troisi`eme vecteur de la base covariante du plan tangent associ´e `a la carte ψ. On

suppose aussi que la surface moyenne de eΩh est l’image d’un ouvert ω ⊂ R2 par un C1-diff´eomorphisme

¯

ψ : R2→ R3 qui prolonge ψ `

a R2. Plus g´en´eralement, on suppose que Ψ est la restriction `

a R2× (−h 2,

h 2) d’un C1-diff´eomorphisme ¯Ψ (qu’on notera dans la suite Ψ par abus de notation) de R3 qu’on suppose

(3)

´

egal `a l’identit´e en dehors d’un compact contenant Ωh.

Le comportement du film courb´e est d´ecrit par une ´energie micromagn´etique eeh d´ependant de la

magn´etisation meh : R3 → R3 nulle en dehors de eΩh, qui repr´esente la densit´e par unit´e de masse du

moment magn´etique. Cette ´energie par unit´e de volume est de la forme

e eh(meh) = 1 h Z e Ωh h W (meh, ∇meh) + 1 2∇ueh.meh i dex, (7)

sous la contrainte de saturation

|meh| = 1 sur tout eΩh, (8)

o`u W est une fonction continue v´erifiant les hypoth`eses de croissance, de coercivit´e et de caract`ere lipschitzien suivantes          ∃c > 0, ∃p ∈]1, +∞[, ∀x ∈ R3et ∀F ∈ M3, |W (x, F )| ≤ c(1 + |F |p), ∃γ > 0, ∃β ≥ 0, ∀x ∈ R3et ∀F ∈ M3, W (x, F ) ≥ γ|F |p− β, ∀x ∈ R3et ∀F, F0 ∈ M3, |W (x, F ) − W (x, F0)| ≤ c(1 + |F |p−1+ |F0|p−1) |F − F0|, (9)

et ueh : R3 → R est un potentiel scalaire pour le champ magn´etique induit Hh = −∇euh, lequel v´erifie l’´equation magn´etostatique

div(−∇ueh+meh) = 0 sur R3. (10)

Nous ´etudions, en utilisant des arguments de Γ-convergence (voir [5][6][7][11][12]), le comportement de l’´energieeeh et de ses ´eventuels minimiseurs lorsque l’´epaisseur du film courb´e tend vers z´ero.

Nous commen¸cons notre ´etude par un changement d’´echelle qui nous permet de travailler sur un domaine ind´ependant de l’´epaisseur h. On pose, pour x ∈ Ω1=x ∈ R3, (x1, x2) ∈ ω et −12 < x3<12 , m(h)(x) =

e

mh(Ψ(x1, x2, hx3)), avec m(h) = 0 en dehors de Ω1 et pour tout x ∈ R3, u(h)(x) =ueh(Ψ(x1, x2, hx3)). On pose aussi e(h)(m(h)) =eeh(meh), ce qui s’exprime par

e(h)(m(h)) = Z Ω1 h W (m(h), (m(h),1|m(h),2| 1 hm(h),3)Ah) +1 2  ATh(u(h),1, u(h),2, 1 hu(h),3), m(h) i dhdx, (11)

o`u l’on a pos´e Ah(x) = ∇Ψ−1◦ Ψ(x1, x2, hx3) et dh(x) = det ∇Ψ(x1, x2, hx3). La contrainte de saturation

s’´ecrit |m(h)(x)| = 1 pour tout x ∈ Ω1, et l’´equation magn´etostatique devient

 ∇ − AT h(x)Ih∇u(h)(x) + m(h)(x)  : ATh(x)Ih = 0 sur R3, (12) avec Ih=      1 0 0 0 1 0 0 0 1 h     

(4)

On passe en suite `a l’´etude du comportement de l’´energie magn´etostatique, suivie du calcul de la Γ-limite de l’´energie totale qui nous donnera le comportement des minimiseurs et on conclut par une application au mod`ele courb´e de Gioia et James (voir [9]).

2. R´esultats principaux

2.1. Comportement de l’´energie magn´etostatique

On se propose d’analyser le comportement asymptotique du terme d’´energie magn´etostatique Emag(h)(m) = Z Ω1 1 2  ATh(u,1, u,2, 1 hu,3), m  dhdx (13)

lorsque l’´epaisseur du film courb´e tend vers z´ero. Pour cela, ´etant donn´e m : R3

→ R3 mesurable avec

m|Ω1 ∈ L2(Ω

1; S2) et m = 0 sur Ωc1, on consid`ere le probl`eme de minimisation : trouver u(h, m) ∈ U tel

que Im(h)(u(h, m)) = inf v∈UIm(h)(v), (14) avec Im(h)(v) = 1 2 Z R3   A T h v,1, v,2, 1 hv,3 − m    2 dhdx (15) et U =v ∈ L1 loc(R 3), ∇v ∈ L2 (R3; R3), Z B v dx = 0 , (16)

o`u B est la boule unit´e de R3. On munit U du produit scalaire (u, v)U,h= Z R3  ATh(u,1, u,2, 1 hu,3), A T h(v,1, v,2, 1 hv,3)  dhdx, (17)

o`u (x, y) d´esigne le produit scalaire usuel de R3. On d´emontre que U muni du produit scalaire (u, v)U,h

est un espace de Hilbert, ce qui nous permet d’obtenir l’existence d’une solution unique pour le probl`eme de minimisation (14) qui v´erifie l’´equation d’Euler-Lagrange

Z R3 ATh(u(h, m),1, u(h, m),2, 1 hu(h, m),3) − m, A T h(v,1, v,2, 1 hv,3) dhdx = 0, ∀ v ∈ U. (18)

Cette ´equation est la forme faible de (12). En utilisant cette ´equation, on d´emontre la proposition suivante qui nous donne le comportement du terme d’´energie magn´etostatique Emag(h).

Proposition 1 Soit ¯m(h) une suite de fonctions L2

(R3

; R3) telles que ¯m(h) = 0 sur Ωc

1 et | ¯m(h)| = 1

sur Ω1, v´erifiant ¯m(h) → ¯m(0) fortement dans L2(R3; R3), et soit ¯u(h, ¯m(h)) la solution du probl`eme de

minimisation (14) associ´ee `a ¯m(h). On a alors ∇¯u(h, ¯m(h)) → 0 dans L2(R3; R3) et 1

hu(h, ¯¯ m(h)),3→ w dans L

2

(5)

o`u w ∈ L2(R3) v´erifie Z R3 |wea3|2d 0dx = Z Ω1 |(a3, ¯m(0))|2d0dx, (20)

o`uea3 repr´esente le troisi`eme vecteur colonne de la matrice AT 0(x) =  ∇Ψ−1 Ψ(x 1, x2, 0) T , lequel est ´

egal `a a3 sur Ω1. De plus,

Emag(h)( ¯m(h)) → Emag(0)( ¯m(0)) = 1 2 Z Ω1 |(a3, ¯m(0))|2d0dx. (21)

Ceci nous permet de passer `a l’´etude des minimiseurs de l’´energie e(h). 2.2. Calcul de la Γ-limite

Afin d’´etudier le probl`eme de minimisation de l’´energie e(h) et puisque l’absence d’hypoth`ese de quasi-convexit´e tangentielle de W ne permet pas d’assurer l’existence de solutions de ce probl`eme, on consid`ere une suite minimisante diagonale m(h) de l’´energie e(h) dont on est assur´e de l’existence, c’est-`a-dire une suite telle que

m(h) ∈ V et e(h)(m(h)) = inf m∈Ve(h)(m) + hε(h), (22) avec ε(h) → 0 quand h → 0 et V =m ∈ Lp(R3; R3), v´erifiant m/Ω1 ∈ W 1,p(Ω 1; R3), |m| = 1, p.p. sur Ω1et m = 0, p.p. sur Ωc1 .(23)

On montre ensuite que toute suite de V `a ´energie born´ee est uniform´ement born´ee dans V et que ses valeurs d’adh´erence pour la topologie faible de W1,p(Ω1; R3) appartiennent `a

VM = {m ∈ V et m,3= 0 sur Ω1}. (24)

On pose ensuite

W0(x, y, ¯F ) := inf

z∈y⊥W (y, ( ¯F |z)A0(x)). (25)

On d´emontre que cette fonction de Carath´eodory poss`ede des propri´et´es analogues `a celles de W `a savoir qu’elle est continue et v´erifie les propri´et´es de croissance et de coercivit´e suivantes

   ∃c > 0, ∀ ¯F ∈ M3,2, ∀y ∈ R3, ∀x ∈ ¯ω, |W0(x, y, ¯F )| ≤ c(1 + | ¯F |p), ∃γ > 0, ∃β ≥ 0, ∀ ¯F ∈ M3,2, ∀y ∈ R3, ∀x ∈ ¯ω, W0(x, y, ¯F ) ≥ γ| ¯F |p− β. (26)

On prolonge ensuite l’´energie e(h) `a l’espace Lp(Ω1; R3) en posant

∀ m ∈ Lp(Ω 1; R3), e∗(h)(m) =    e(h)(m) si m ∈ V, +∞ sinon. (27)

On rappelle la d´efinition de l’enveloppe quasiconvexe tagentielle introduite par B. Dacorogna, I. Fonseca, J. Maly et K. Trivisa dans [4] et reprise par R. Alicandro et C. Leone dans [1] pour les fonctionnelles d´ependant de la d´eformation. Soit f : Rd× Md×N → [0, +∞[ une fonction Borel mesurable et M une C1

(6)

D´efinition 2.1 Soit y ∈ M et ξ ∈ Ty M

N

. La quasiconvexification tangentielle de f en ξ relativement `

a y est d´efinie par QN,dT f (y, ξ) := infn Z Q f y, ξ + ∇ϕ(x)dx : ϕ ∈ W1,∞ 0 Q; Ty(M ) o , (28) avec Q un cube de RN.

Dans notre cas, M est la sph`ere unit´e S2 de R3et Ty(S2) = y⊥le plan orthogonal `a y. Ceci nous permet

d’obtenir le r´esultat suivant

Theorem 2.1 La suite d’´energies e∗(h) est Γ-convergente pour la topologie forte de Lp(Ω1; R3). Sa

Γ-limite a pour expression

e∗(0)(m) =        Z ω Q2,3T W0 x, m(x), (m,1|m,2) + |(a3(x), m)|2d0dx si m ∈ VM +∞ sinon. (29)

Dans le cas du mod`ele de G. Gioia et R.D. James [9], pour lequel W est de la forme W (y, F ) = ϕ(y)+α|F |2,

dans un film mince courb´e, l’´energie limite s’´ecrit

e e(0)(m) =e Z e S n ϕ(m) + α|(∇e m)|e 2+ |(a3(ψ−1(ex)),m(e x))|e 2 o dex. (30) R´ef´erences

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Références

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