Intervalles de

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Intervalles de R

Table des matières

I Définition . . . 1 II Intersection et réunion. . . 2

I Définition

Définition

Soienta etbdeux réels.

L’ensemble des réelsxtels queaxbest noté [a; b].

On le représente sur la droite réelle de la façon suivante :

a b

Cet ensemble est un intervalle deR.aetbsont ses bornes. Cet intervalle contient ses bornes.

Il est limité à gauche et à droite ; on dit qu’il est borné.

Il existe toute une collection d’intervalles.

Intervalle Ensemble des réelsxtels que . . . Représentation graphique

[a; b] fermé axb a b

[a; b[ fermé à gauche, ouvert à droite aÉx<b a b

]a; b] ouvert à gauche, fermé à droite aÉx<b a b

]a; b[ ouvert à gauche, ouvert à droite a<x<b a b

[a ;+∞[ aÉx a

]a ;+∞[ x>a a

]− ∞; b[ x<b b

]− ∞; b] xb b

Le symbole∞ , qui se lit « infini »a été inventé par le mathématicien John Wallis (1616-1703). Ce n’est pas un nombre réel.

Du côté de l’infini, le crochet est toujours tourné vers l’extérieur.

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II Intersection et réunion

Définition

SoientIetJ deux intervalles.

1. L’ensemble des réels qui appartiennent à la fois àI et àJest appelé l’intersection deI etJ. Cet ensemble est notéIJ.

2. L’ensemble des réels qui appartiennent àIou àJest appelé la réunion deIetJ. Cet ensemble est notéIJ.

Exemples :

a) [4 ; 5]∩[2 ; 3]= ; b) [2 ; 5]∩[2 ; 3]=[2 ; 3]

c) [4 ; 7]∩ˇD[6 ; 8]=[6 ; 7]

d) [4 ; 7]∪ˇD[6 ; 8]=[4 ; 8]

Des exercices sont disponibles sur le site Euler de l’académie de Versailles : voir ci-dessous :

1. Indiquer si la réunion de deux intervalles est un intervalle ou non et le préciser le cas échéant : cliquer ici

2. Caractériser un intervalle par des inégalités : cliquerici

3. Écrire l’intervalle ensemble des solutions d’une inéquation ou d’un système d’inéquations du premier degré à une inconnue : cliquerici

4. Détermination de la réunion et de l’intersection de deux intervalles : cliquerici 5. Caractérisation d’un intervalle par des inégalités : cliquerici

6. Écriture de l’intervalle ensemble des solutions d’une inéquation ou d’un système d’inéquations du pre- mier degré à une inconnue : cliquerici

7. Représentation graphique de la réunion et de l’intersection de deux intervalles : cliquerici 8. Caractériser des inégalités par un intervalle ou une réunion d’intervalles : cliquerici 9. Rechercher les intervalles dont l’intersection est un intervalle non vide : cliquerici 10. Rechercher les intervalles dont la réunion est un intervalle : cliquerici

11. Indiquer si un intervalle est inclus ou non dans un autre : cliquerici

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