Ensembles et intervalles

1 Ensembles de nombres

Dénition 4.1. L'ensemble des entiers naturels

0, 1, 2, 3, ...

^{est noté}

^N

^:

N = { 0, 1, 2, 3... } .

Dénition 4.2. L'ensemble des entiers relatifs

..., − 2, − 1, 0, 1, 2, ...

^{est noté}

^Z

^:

Z = { ..., − 2, − 1, 0, 1, 2... } .

Dénition 4.3. L'ensemble des nombres déi-

maux noté

D

^{est déni par}

D = ⁿ a

10 ⁿ , a ∈ ^Z , n ∈ ^{N o} .

Dénition 4.4. L'ensemble des nombres ration-

nels noté

Q

^{est déni par}

Q =

ß p

q , p ∈ ^Z , q ∈ ^{N ∗}

™

.

Remarque : La notation

N ^∗

^signie

N

^privé

de 0, on a don

N ^∗ = { 1, 2, 3... } .

Il en va de même ave

Z ^∗

^,

Q ^∗

^...

Dénition 4.5. L'ensemble des nombres onnus est

dit ensemble des nombres réels et noté

R

^.

Propriété 4.1. Tout réel est représenté par l'absisse

d'un point sur la droite numérique.

Exemples :

− √

2

^,

− 2, 5

^,

8

3

^et

π

^{sont ainsi}

plaés sur la droite numérique :

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

b b

b b − √

2

8

− 2, 5 3 π

Propriété 4.2. Les ensembles i-dessus sont inlus

les uns dans les autres de la façon suivante (le symbole

⊂

^{signie inlus dans ) :}

N ⊂ ^Z ⊂ ^D ⊂ ^Q ⊂ ^R .

0 N

7 98 Z

− 1

− 12

− 3 D

− 0, 64 1

2 − 4

100 Q

2 1 7 3

− 3 13 π R

√ 2

Remarque : On peut voir que

R

^et

Q

^sont

diérents en montrant par exemple que

√ 2

et

π

^{ne sont pas dans}

^Q

^.

2 Intervalles de

R

2.1 Intervalles

Dénition 4.6. Soient

a

^et

b

^{deux nombres réels.}

L'intervalle

[ a ; b ]

^{est l'ensemble des réels}

x

^{tels que}

a ≤ x ≤ b

^{. On dénit de la même manière les inter-}

valles

[ a ; b [

^,

] a ; b ]

^et

] a , b [

^.

Intervalle Ensemble des réels

x

^{tels que...}

[ a ; b ] a ≤ x ≤ b

] a ; b [ a < x < b ] a ; b ] a < x ≤ b [ a ; b [ a ≤ x < b

Les réels

a

^et

b

^{sont appelés bornes de} l'intervalle .

Exemple :

− 0, 3

^{appartient à} l'intervalle

] − 1, 2]

^{, mais}

− 1

n'appartient pas à et intervalle.

Dénition 4.7. Soit

a

^{un nombre réel. L'inter-}

valle

[ a ; + ∞ [

^{est l'ensemble des réels}

x

^{tels que}

x ≥

a

^{. On dénit de la même façon les} intervalles

] −∞ ; a ]

^,

] a ; + ∞ [

^et

] − ∞ ; a [

^.

Intervalle Ensemble des réels

x

^{tels que...}

[ a ; + ∞ [ a ≥ x

] a ; + ∞ [ a > x

] − ∞ ; a ] x ≤ a

] − ∞ ; a [ x < a

Remarque : L'ensemble

R

^{des nombres}

réels est l'intervalle

] − ∞ ; + ∞ [

^.

Exemple de représentation graphique : i-

dessous sont représentés les intervalles

] − 3 ; 1]

et

] − 1 ; + ∞ [

^.

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3 − 3 − ⁺ 2 − ⁺ 1 0 1 2 3 ^{+ + + + +}

Dénition 4.8. On appelle longueur (ou ampli-

tude) d'un intervalle la distane

b − a

^.

2.2 Union et intersetion

Dénition 4.9. Soient

I

^et

J

^deux intervalles.

L'intersetion de

I

^et

J

^{est l'ensemble des}

réels appartenant à

I

^et

J

^{, il est noté}

I ∩ J

^.

L'union de

I

^et

J

^{est l'ensemble des réels ap-}

partenant à

I

^ou

J

^{, il est noté}

I ∪ J

^.

Remarque : lorsque qu'il n'y a auun élé-

ment qui soit à la fois dans

I

^et

J

^{, leur}

intersetion est alors l'ensemble vide noté

∅

^.

Exemples :

1.

I = [0 ; 3]

^et

J = ] − 2 ; 1[

^{. On a :}

I ∩ J = [0 ; 1[

^,

I ∪ J = ] − 2 ; 3]

^.

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

2.

I = ] − 3 ; 1]

^et

J = ] − 1 ; + ∞ [

^{. On a :}

I ∩ J = ] − 1 ; 1]

^,

I ∪ J = ] − 3 ; + ∞ [

^.

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

⋆

^Vidéo (intersetion) ; vidéo (union).

3 Valeur absolue et

intervalles

3.1 Distane entre deux réels et

valeur absolue

Dénition 4.10. La distane de deux réels

a

^et

b

^{est la distane des points}

A

^et

B

^d'absisses

respetives

a

^et

b

^{sur la droite numérique.}

Propriété 4.3. La distane de

a

^à

b

^{est égale à :}

1.

b − a

^si

b > a

^;

2.

a − b

^si

a > b

^.

On note ette distane

| a − b |

^.

Dénition 4.11.La valeur absolue d'un réel

x

est la distane de e réel à 0 sur la droite numérique.

Elle est notée

| x |

^.

Remarque : La valeur absolue est une dis-

tane : elle est toujours positive ou nulle.

Ainsi, on distingue deux as :

1. Si

x ≥ 0

^,

| x | = x

^.

2. Si

x < 0

^,

| x | = − x

^.

Exemples :

| 4 | = 4

^et

|− 3 | = 3

^.

Propriété 4.4.Pour tout réel

x

^{, on a}

| x | = √ x ²

^.

3.2 Valeur absolue et intervalle

Propriété 4.5.L'intervalle

[ a − r ; a + r ]

^{est l'en-}

semble des réels

x

^{tels que}

| x − a | ≤ r

^{. C'est l'en-}

semble des réels

x

^{qui sont à une distane inférieure}

ou égale à

r

^{du réel}

a

^.

Exemples :

1. On veut aratériser l'intervalle

J = [ − 3; 1]

^{. C'est l'ensemble des réels}

x

^tels

que

− 3 ≤ x ≤ 1

^.

Le entre de l'intervalle

J

^{est le réel}

a = − 1

^.

On peut érire

[ − 3 ; 1] = [ − 1 − 2 ; − 1 + 2]

^.

Don

J

^{est l'ensemble des réels}

x

tels que

| x − ( − 1) | ≤ 2

^{, ou enore}

| x + 1 | ≤ 2

^.

J

^{est don l'ensemble des réels si-}

tués à une distane inférieure ou

égale à

2

^{du réel}

− 1

^.

2. On veut résoudre l'équation

| x − 4 | ≤ 3

^.

On herhe l'ensemble des nombres

x

qui sont à une distane inférieure ou

égale à

3

^de

4

^{. D'après la propriété}

préédente, et ensemble est l'inter-

valle

[1 ; 7]

^.

4 Attendus et savoir-faire

Connaître les diérents ensembles de

nombres et savoir donner des exemples

de nombres y appartenant ou pas.

Savoir si un nombre appartient à un

intervalle ou pas.

Passer d'un intervalle à sa représen-

tation graphique et inversement.

Déterminer l'union et l'intersetion de

deux intervalles.

5 Exeries

5.1 Démarrage

Exerie 4.1. À quel(s) ensemble(s) appartient(nent)

les nombres suivants :

1.

1 2

^,

2.

√ 5

^,

3.

10 − 4 3

^,

4.

− √ 16

^,

5.

1

2 + 1

3 + 1 6

^,

6.

√ 16 − √ 25

^,

7.

91 7

^,

8.

34

2 − 289.

Exerie 4.2. Donner dans haque as un exemple

de valeur de

x

^{vériant les onditions suivantes.}

1.

x ∈ ^Q

^et

x ∈ / ^N

^;

2.

x ∈ ^Q

^et

x ∈ / ^Z

^;

3.

x ∈ ^R

^et

x ∈ / ^Q

^;

4.

x ∈ ^Q

^et

x ∈ / ^R

^.

Exerie 4.3. Érire les intervalles suivants sous forme

d'inégalités et les représenter graphiquement.

1.

[ − 1 ; 4]

^;

2.

[100 ; 103[

^;

3.

] − 23 ; − 20[

^;

4.

]0 ; 10]

^;

5.

] −∞ ; 2[

^;

6.

[12 ; + ∞ [

^;

7.

] −∞ ; 4]

^;

8.

] − 1 ; + ∞ [

^.

Exerie 4.4. Donner les intervalles orrespondant

aux représentations i-dessous.

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3 − 3 − ⁺ 2 − ⁺ 1 0 1 2 3 ^{+ + + + +}

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3 − 3 − ⁺ 2 − ⁺ 1 0 1 2 3 ^{+ + + + +}

Exerie 4.5. Compléter le tableau i-dessous à l'aide

des symboles

∈

^et

∈ /

^.

] −∞ ; 0[ [9 ; 15[ [ − 5 ; 5] ]0 ; 17] [ − 2 ; + ∞ [

0

5

17

√ 4

2

1 − π

Exerie 4.6. Représenter graphiquement les unions

et intersetions suivantes et dire à quel ensemble elles

sont égales.

1.

[ − 1 ; 15] ∩ [12 ; + ∞ [

^;

2.

[10 ; 103[ ∩ ]0 ; 50[

^;

3.

] − 23 ; − 10[ ∩ ] − 30 ; − 5[

^;

4.

]0 ; 10] ∪ [2 ; 18]

^;

5.

] −∞ ; 4] ∪ ]0 ; π]

^;

6.

] − 1 ; + ∞ [ ∪ ] −∞ ; 7[

^.

Exerie 4.7. Érire à l'aide de valeurs absolues les

ensembles suivants :

[ − 2 ; 6] , [8 ; 12] , ]3 ; 7[ , ] − 2 ; 2[ .

Exerie 4.8. Érire sous forme d'intervalle les en-

sembles suivants :

| x − 3 | ≤ 4, | x + 2 | ≥ 1,

| x − 2 | < 7,

x + 1 4

< 1.

5.2 Approfondissement

Exerie 4.9. Soit

n ∈ ^N

^{. Dire si les armations}

suivantes sont vraies ou fausses.

1.

2 n + 1 ∈ ^N

^;

2.

2 n + 1 ∈ ^Q

^;

3.

3 n − 7 ∈ ^N

^;

4.

n − 6

2 ∈ ^Z

^;

5.

n + 1

√ 2 ∈ ^R

^;

6.

√ n ∈ ^Q

^.

Exerie 4.10. Les armations suivantes sont-elles

vraies ou fausses ? Donner un ontre-exemple si fausse.

1. La diérene entre deux entiers naturels est un

entier naturel.

2. Le quotient de deux nombres déimaux est déi-

mal.

3. Le quotient de deux nombres réels est rationnel.

4. Le produit d'un rationnel par un entier relatif est

rationnel.

Exerie 4.11.

1. Trouver deux nombres irrationnels diérents dont

le produit est irrationnel.

2. Trouver deux nombres irrationnels diérents dont

le produit est un entier naturel.

Exerie 4.12. [Démonstration℄ On onsidère

un erle dont le périmètre est rationnel, montrer que

son rayon est irrationnel.

Exerie 4.13. Représenter graphiquement les unions

et intersetions suivantes et dire à quel ensemble elles

sont égales.

1.

[ − 1 ; 2] ∩ ]2 ; + ∞ [

^;

2.

[10 ; 13[ ∩ ]14 ; 50[

^;

3.

] −∞ ; 10[ ∩ [ − 30 ; 10]

^;

4.

] − 12 ; 0] ∩ [ − 12 ; 0[

^;

5.

] −∞ ; 0] ∪ ]0 ; π[

^;

6.

] −∞ ; − 1[ ∪ ] − 1 ; + ∞ [

^;

7.

] − 5 ; 5[ ∪ [ − 10 ; 10]

^;

8.

ó 0 ; √

2 ^î ∪ ^î √

2 ; π ^ó

^;

9.

] −∞ ; − 1[ ∪ [ − 1 ; 1] ∪ ]1 ; + ∞ [

^.

Exerie 4.14. Érire à l'aide de valeurs absolues les

ensembles suivants :

[ − 4 ; 4] , ] −∞ ; 3[ ∪ ]5 ; + ∞ [ , ] −∞ ; − 2] ∪ [2 ; + ∞ [ ,

Exerie 4.15. Érire sous forme d'intervalle les en-

sembles suivants :

| x − 2 | ≥ 4, | x | > 1, | x − 1 | > 7,

x + 1 4

≥ 2.

5.3 Entraînement

Exerie 4.16. À quel(s) ensemble(s) appartient(nent)

les nombres suivants :

1.

1 3

^,

2.

√ 4

^,

3.

6 − 4 4

^,

4.

− √ 36

^,

5.

1

10 + 1 5

^,

6.

√ 25 − √ 49

^,

7.

101 8

^,

8.

27

3 − 89.

Exerie 4.17. Soit

n ∈ ^N

^{. Dire si les armations}

suivantes sont vraies ou fausses.

1.

10 n + 11 ∈ ^N

^;

2.

10 n + 11 ∈ ^Q

^;

3.

20 n − 20 ∈ ^N

^;

4.

n + 1

2 ∈ ^Z

^;

5.

−

√ n + 1

5 ∈ ^R

^;

6.

1 − 2 √

n ∈ ^Q

^.

Exerie 4.18. Érire les intervalles suivants sous

forme d'inégalités et les représenter graphiquement.

1.

[15 ; 21]

^;

2.

[ − 4 ; 8[

^;

3.

] − 3 ; 0[

^;

4.

]0 ; 9]

^;

5.

] −∞ ; − 3[

^;

6.

[0 ; + ∞ [

^;

7.

] −∞ ; 100]

^;

8.

] − 5 ; + ∞ [

^.

Exerie 4.19. Donner les intervalles orrespondant

aux représentations i-dessous.

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3 − 3 − ⁺ 2 − ⁺ 1 0 1 2 3 ^{+ + + + +}

+ + + + + + +

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3 − 3 − ⁺ 2 − ⁺ 1 0 1 2 3 ^{+ + + + +}

Exerie 4.20. Compléter le tableau i-dessous à

l'aide des symboles

∈

^et

∈ /

^.

[0 ; + ∞ [ ]1 ; 5[ [ − 1 ; 1] ] − 10 ; 0] ] −∞ ; π]

1

-2

− ¹ ₃ π 1 − √

5

Exerie 4.21. Représenter graphiquement les unions

et intersetions suivantes et dire à quel ensemble elles

sont égales.

1.

[ − 1 ; 2] ∩ [0 ; + ∞ [

^;

2.

[10 ; 13[ ∩ ]11 ; 15[

^;

3.

] −∞ ; 1[ ∩ [ − 3 ; 1]

^;

4.

] − 12 ; 0] ∩ [0 ; 12[

^;

5.

] − π ; π] ∪ ]π ; 2π[

^;

6.

] −∞ ; − 1[ ∪ ] − 1 ; + ∞ [

^;

7.

] − 1 ; 1[ ∪ [ − 2 ; 2]

^;

8.

ó 0 ; √

5 ^î ∪ ^î √

5 ; 2 √ 5 ^ó

^;

9.

] −∞ ; − π] ∪ ] − π ; π[ ∪ [π ; + ∞ [

^.

Exerie 4.22. Érire à l'aide de valeurs absolues les

ensembles suivants :

[ − 4 ; 4] , ] − 6 ; − 3[ , ] −∞ ; − 5] ∪ [ − 3 ; + ∞ [ , ] −∞ ; − 4[ ∪ [4 ; + ∞ [ .

Exerie 4.23. Érire sous forme d'intervalle les en-

sembles suivants :

| x + 3 | ≤ 4, | x − 2 | < 5,

| x + 8 | > 7,

x + 1 3

≥ 2.